Trong tam giác $ABC$ có $AB>AC$, phần kéo dài của đường cao $AD$, với $D$ nằm trong cạnh $BC$, cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tại $P$. Đường tròn đi qua $P$ và tiếp xúc với $BC$ tại $D$ cắt $\omega$ tại điểm $Q$ khác $P$, với $PQ=DQ$. Chứng minh rằng $AD=BD-DC$.
Cho $b_1,b_2,\ldots$ là một dãy số thực dương sao cho với mỗi $n\ge1$,
$$b_{n+1}^2\ge\frac{b_1^2}{1^3}+\frac{b_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{b_n^2}{n^3}.$$
Chứng minh rằng có một số nguyên dương $M$ sao cho
$$\sum_{n=1}^M\frac{b_{n+1}}{b_1+b_2+\cdots+b_n}>\frac{2013}{1013}.$$
Trong mảng $6\times6$ sau, có thể chọn một mảng con $k\times k$ bất kỳ, với $1<k\le6$, rồi cộng $1$ vào tất cả các phần tử của nó. Có thể thực hiện thao tác hữu hạn lần để mọi phần tử của mảng đều là bội của $3$ hay không?
$$\begin{bmatrix}2&0&1&0&2&0\\0&2&0&1&2&0\\1&0&2&0&2&0\\0&1&0&2&2&0\\1&1&1&1&2&0\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}$$
Mảng trong nguồn gốc:
Cho $x,y$ là các số thực phân biệt sao cho $\dfrac{x^n-y^n}{x-y}$ là số nguyên với bốn giá trị nguyên dương liên tiếp của $n$. Chứng minh rằng $\dfrac{x^n-y^n}{x-y}$ là số nguyên với mọi số nguyên dương $n$.
