Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2021

Mali muốn chèn một số dấu “+” vào giữa các chữ số của $777777777777$ (gồm mười hai chữ số 7) sao cho giá trị biểu thức thu được là bội của 30. Có bao nhiêu cách chèn?

Điền mỗi số 2, 3, 4, 5, 6, 7 và 8 đúng một lần vào tám vòng tròn trống (vị trí của số 1 đã được cố định), sao cho tổng hai số ở hai vòng tròn kề nhau luôn là số nguyên tố. Hai cách điền được xem là giống nhau nếu có thể biến cách này thành cách kia bằng phép quay hoặc phép đối xứng. Hãy liệt kê tất cả các cách điền khác nhau.



Lưu ý về câu chữ của nguồn: đề gốc in “tám vòng tròn trống”. Hình thực tế có tổng cộng tám vòng tròn, gồm bảy vòng tròn trống và một vòng tròn đã ghi số 1. Bài được hiểu là điền vào bảy vòng tròn trống đó. Các hình trống dành cho phần trả lời trong bản gốc được giữ lại bên dưới.

Bốn vận động viên A, B, C và D tham gia một cuộc đua. Trước cuộc đua, cả bốn người (được gọi ẩn danh là I, II, III và IV) dự đoán thứ hạng cuối cùng như bảng dưới đây.



I và III mỗi người đoán đúng hai vị trí; II và IV mỗi người đoán đúng một vị trí. Hãy xác định thứ hạng cuối cùng của bốn vận động viên.

Như hình dưới đây, năm người A, B, C, D và E sống trong cùng một ngôi làng. Bảng cho tổng quãng đường bốn người còn lại đi khi đến nhà một người. Nếu tổ chức tiệc tại nhà E thì tổng quãng đường A, B, C và D phải đi là bao nhiêu mét?

Ba người đi xe máy cùng bắt đầu chuyến đi một lúc. Trong chuyến đi, mỗi người chạy xe một thời gian, nghỉ một thời gian rồi tiếp tục chạy xe để trở về nhà; cả ba về đến nhà cùng lúc. Thời gian chạy xe của người thứ nhất gấp hai lần thời gian nghỉ của người thứ hai; thời gian chạy xe của người thứ hai gấp ba lần thời gian nghỉ của người thứ ba; thời gian chạy xe của người thứ ba gấp bốn lần thời gian nghỉ của người thứ nhất. Biết tổng vận tốc của người thứ nhất và người thứ ba là 48 km/h, hãy tìm vận tốc của người thứ hai.

Chú ý: Mỗi người giữ nguyên vận tốc trong suốt thời gian chạy xe.

Hai đường tròn được gọi là “hàng xóm” nếu chúng tiếp xúc nhau. Hình dưới đây có bao nhiêu cặp “hàng xóm”?

Trong hình dưới đây, hình vuông có cạnh 20 cm và “ngũ giác ở giữa” bên trong hình vuông có diện tích 21 cm². Tổng diện tích tất cả các phần tô xám là bao nhiêu cm²?

Trong một giải cờ, mỗi người chơi đúng một ván với mỗi người còn lại. Mỗi ván thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua được 0 điểm. Trong 40 người tham dự, nhiều nhất có bao nhiêu người đạt ít nhất 24 điểm?

Có tám số nguyên dương liên tiếp sao cho tổng của chúng viết được thành tổng của bảy số nguyên dương liên tiếp, nhưng không viết được thành tổng của ba số nguyên dương liên tiếp. Giá trị nhỏ nhất có thể của số lớn nhất trong tám số đó là bao nhiêu?

Chia hình dưới đây thành hai phần bằng nhau về hình dạng và kích thước; có thể quay hoặc lật một phần để khớp với phần kia. Biết diện tích hình ban đầu là 72 cm², hãy tìm chu vi mỗi phần, tính bằng cm.

Năm đội tham gia một giải bóng đá, mỗi đội đấu đúng một trận với mỗi đội còn lại. Mỗi trận thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Sau khi tất cả các trận kết thúc, tổng điểm của năm đội có thể là năm số nguyên dương liên tiếp không? Nếu có, hãy cho một ví dụ.

Trong mỗi ô của bảng $5\times5$ dưới đây, Peter có thể đặt một số viên đá hoặc để trống, sao cho tổng số đá của từng hàng và từng cột đều khác nhau (cả mười tổng đôi một khác nhau). Peter phải dùng ít nhất bao nhiêu viên đá?

Trong hình dưới đây, tam giác EFG và tam giác CDG có diện tích bằng nhau; tỉ số diện tích hai tam giác EBC và BCD là $3:2$; đồng thời $AD:DC=2:1$. Biết diện tích tam giác BDF bằng 29 cm², hãy tìm diện tích tam giác ABC, tính bằng cm².

Giả sử chúng ta sống trong một thành phố có các đường phố tạo thành lưới ô vuông như hình. Bạn chỉ được đi dọc các đường thẳng đứng (hướng bắc–nam) hoặc các đường nằm ngang (hướng đông–tây). Nhà bạn ở điểm $A$, còn nhà người bạn muốn đến ở điểm $B$. Quãng đường đi không phải khoảng cách thẳng đo bằng thước, mà là độ dài phải đi dọc các đường phố. Ta gọi khoảng cách TCG giữa $A$ và $B$ là độ dài một đường đi ngắn nhất như vậy. Chẳng hạn, từ $A$ đến $B$ có thể đi 3 đơn vị sang phải rồi 3 đơn vị xuống dưới, hoặc đi 3 đơn vị xuống dưới rồi 3 đơn vị sang phải; vì vậy khoảng cách TCG trong hình bằng 6.

(a) Có bao nhiêu điểm nút lưới có khoảng cách TCG đến cả $A$ và $B$ đều bằng 6? Vẽ hình. (2 điểm)

(b) Có bao nhiêu điểm nút lưới có khoảng cách TCG đến cả $A$ và $B$ đều bằng 12? Vẽ hình. (4 điểm)



Chỉ dẫn trên phiếu trả lời: không cho điểm từng phần nhỏ trong mỗi ý. Phiếu trả lời gốc có lưới trống lớn hơn để vẽ.

Chia hình dưới đây thành 7 mảnh bằng nhau, chỉ cắt dọc các đường đã vẽ. Cho phép các mảnh là ảnh đối xứng của nhau.



Chỉ dẫn trên phiếu trả lời: không cho điểm từng phần.

Hình vẽ là một bàn cờ tam giác. Quân xe, ký hiệu $C$, có thể tấn công dọc theo một trong ba hướng được tô đậm dưới đây.



(a) Đặt nhiều quân xe nhất có thể lên bàn cờ sao cho không có hai quân xe tấn công nhau. (3 điểm)



(b) Quân tượng, ký hiệu $B$, có thể tấn công theo hướng đi qua một trong các góc của ô nó đứng. Hai hình dưới minh họa các ô bị tấn công; các nét đứt chỉ hướng của những góc đó.





Đặt nhiều quân tượng nhất có thể lên bàn cờ sao cho không quân nào tấn công quân khác. (3 điểm)



Phiếu trả lời yêu cầu ghi số quân và vẽ cách đặt cho từng ý, không chia điểm nhỏ trong mỗi ý.

Hình dưới đây là bản đồ 23 thị trấn nối với nhau bằng các con đường; mỗi thị trấn có một tiệm trò chơi điện tử. Andy thích chơi trò chơi điện tử và làm việc ở thị trấn $O$. Mỗi ngày sau giờ làm, anh đi qua tất cả các thị trấn, mỗi thị trấn đúng một lần, để chơi rồi mới về nhà ở thị trấn $H$. Anh dành phần lớn thời gian rảnh ở các tiệm trò chơi nên lơ là bạn gái. Một ngày, cô quyết định đón anh trên đường về, nhưng anh luôn thay đổi lộ trình. Cô phát hiện có một con đường mà anh bắt buộc phải đi qua trong mọi lộ trình có thể, nên định chờ trên con đường đó. Đó là con đường nào?



Phiếu trả lời còn yêu cầu vẽ một lộ trình có thể đi và ghi tên hai thị trấn ở hai đầu con đường. Không cho điểm từng phần.

Anna và Boris chơi với các số nguyên $1,2,3,4,5,6,7,8$. Đầu tiên Anna chọn số nguyên dương $k\le8$. Boris chọn $k$ số trong tám số đó, rồi Anna chọn ba số trong tám số. Anna thắng nếu tổng của mỗi cặp trong ba số cô chọn đều thuộc các số Boris đã chọn.

(a) Giá trị nhỏ nhất của $k$ để Anna có chiến thuật chắc chắn thắng là bao nhiêu? (2 điểm)

(b) Nếu Anna chắc chắn thắng với $k$, hãy đưa ra phản ví dụ cho thấy cô không thể bảo đảm thắng với $k-1$. (4 điểm)

Chỉ dẫn trên phiếu trả lời: không cho điểm từng phần nhỏ trong mỗi ý.

Có 100 số nguyên dương có tổng bằng tích. Tìm tất cả các giá trị có thể của tích.

Ghi chú chấm trên phiếu trả lời: lấy số đáp án đúng trừ số đáp án sai để được số đáp án đúng ròng. Đề quy định câu này 6 điểm nhưng không nói cách đổi số đáp án đúng ròng thành 6 điểm.

Năm 2021, em trai của Ada 10 tuổi. Tuổi của Ada trong năm 2021 bằng tổng các chữ số của năm sinh của cô ấy. Hỏi năm 2021 Ada bao nhiêu tuổi?