IMSO 2021 Toán học - Đáp án ngắn quốc tế

Năm 2021, em trai của Ada 10 tuổi. Tuổi của Ada trong năm 2021 bằng tổng các chữ số của năm sinh của cô ấy. Hỏi năm 2021 Ada bao nhiêu tuổi?

Ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên một đường thẳng và $AB=AC=1$. Vẽ hình vuông $ABDE$ và tam giác đều $ACF$ về cùng một phía của đường thẳng $BC$. Hai đường thẳng $EC$ và $BF$ cắt nhau tại $G$. Tính số đo góc $EGB$ theo độ.

Số có mười hai chữ số $\overline{155a710b4c16}$ chia hết cho $396$, trong đó $a,b,c$ là ba chữ số đôi một khác nhau. Tính $a+b+c$.

Mỗi ô của bảng $3\times4$ dưới đây chứa một số nguyên dương nhỏ hơn $9$. Tổng bốn số trên mỗi hàng đều bằng nhau; đồng thời tổng ba số trong mỗi cột cũng đều bằng nhau. Phải điền số nào vào ô màu xám?

Một cửa hàng bán bốn loại máy tính xách tay $A,B,C,D$ và đã bán tổng cộng $2021$ chiếc. Giá của $20$ máy loại $A$ bằng giá của $7$ máy loại $B$; giá của $4$ máy loại $A$ bằng giá của $1$ máy loại $C$; giá của $4$ máy loại $A$ cũng bằng giá của $3$ máy loại $D$. Nếu doanh thu từ mỗi loại đều bằng nhau, cửa hàng đã bán bao nhiêu máy loại $A$?

Trong biểu thức $(e\times7)\oplus f=19$, kí hiệu $\oplus$ có thể là một trong bốn phép toán $+,-,\times,\div$, còn $e,f$ đều là các số nguyên dương có một chữ số. Tính tổng tất cả các giá trị có thể có của $e+f$.

Viết lên bảng $999$ số nguyên dương đầu tiên. Mỗi lượt, Peter chọn hai số trong danh sách rồi thay chúng bằng hiệu dương của chúng. Cậu tiếp tục như vậy cho đến khi chỉ còn một số. Giá trị lớn nhất có thể có của số cuối cùng là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, có bao nhiêu hình vuông khác nhau được tạo bởi các đường của bảng và chứa ô vuông đơn vị có ngôi sao?

Cammy liệt kê tất cả các số nguyên dương chẵn có năm chữ số khác nhau có thể lập bằng cách dùng mỗi chữ số $1,3,4,5,9$ đúng một lần. Tính tổng các số trong danh sách của Cammy.

Xét tích của tất cả các ước dương của $120$: $1\times2\times3\times4\times\cdots\times120$. Tích này chia hết cho $2^k$, với $k$ là số nguyên. Giá trị lớn nhất có thể có của $k$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, Andy uốn một thanh kim loại thành hình lục giác đều có cạnh $AB$ dài $16$ cm. Sau đó, bạn chia thanh kim loại của hình lục giác thành hai phần bằng nhau: một phần dùng để tạo hình vuông, phần còn lại dùng để tạo tam giác cân có đáy dài $18$ cm. Tính tổng diện tích của hình vuông và tam giác mới tạo thành, theo xentimét vuông.

Tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều và lục giác đều đều có số đo góc trong là một số nguyên độ, như hình dưới đây. Tổng cộng có bao nhiêu loại đa giác đều có số đo góc trong là một số nguyên độ?

Trên sáu mặt của mỗi khối lập phương trong bảy khối đều ghi các số từ $1$ đến $6$; tổng hai số trên hai mặt đối diện bằng $7$. Xếp bảy khối như hình dưới đây sao cho tổng hai số trên hai mặt tiếp xúc bằng $8$. Dấu sao trên mặt trên của khối cao nhất biểu thị số nào?

Bảy điểm chia một đường tròn thành bảy cung bằng nhau. Có thể tạo được bao nhiêu tam giác tù bằng cách chọn ba trong bảy điểm ấy làm đỉnh?

Chia các số nguyên dương từ $1$ đến $45$ thành $5$ nhóm, mỗi nhóm có $9$ số. Giá trị lớn nhất có thể có của trung bình cộng các số trung vị của $5$ nhóm là bao nhiêu?

Chú ý: Trung vị của một tập hữu hạn các số là số ở chính giữa khi sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất vừa chia hết cho $18$ vừa có đúng $18$ ước dương khác nhau.

Một chiếc đồng hồ điện tử có dạng như hình dưới đây. Trong khoảng $12$ giờ từ 03:00 sáng đến 2:59 chiều, có bao nhiêu phút mà màn hình xuất hiện chữ số $3$ ít nhất một lần?

Có $32$ đồng xu có khối lượng đôi một khác nhau. Với một chiếc cân hai đĩa thông thường, cần cân ít nhất bao nhiêu lần để xác định cả đồng nặng nhất và đồng nặng thứ hai?

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông, $M$ là trung điểm của $AB$. Đường thẳng $AC$ cắt $DM$ tại $E$. Biết diện tích tứ giác $BCEM$ bằng $400$ xentimét vuông, tính diện tích hình vuông $ABCD$ theo xentimét vuông.

Trong một trò chơi bắn bia, chín phần thưởng có giá trị từ $1$ đến $9$ đô-la được treo trên ba sợi dây như hình dưới đây. Người chơi bắn vào các bia, được biểu diễn bằng những hình tròn tô màu, nằm phía trên phần thưởng. Khi một bia bị bắn trúng, người chơi nhận mọi phần thưởng bên dưới bia đó; toàn bộ bia và phần thưởng bên dưới sẽ không còn cho người chơi sau. Alice chơi trước, tiếp theo là Brian, rồi đến Colin. Mỗi người bắn trúng hai bia. Tổng giá trị phần thưởng của Alice là $18$ đô-la, của Brian là $13$ đô-la và của Colin là $14$ đô-la. Colin đã bắn trúng những bia nào?