Giả sử chúng ta sống trong một thành phố có các đường phố tạo thành lưới ô vuông như hình. Bạn chỉ được đi dọc các đường thẳng đứng (hướng bắc–nam) hoặc các đường nằm ngang (hướng đông–tây). Nhà bạn ở điểm $A$, còn nhà người bạn muốn đến ở điểm $B$. Quãng đường đi không phải khoảng cách thẳng đo bằng thước, mà là độ dài phải đi dọc các đường phố. Ta gọi khoảng cách TCG giữa $A$ và $B$ là độ dài một đường đi ngắn nhất như vậy. Chẳng hạn, từ $A$ đến $B$ có thể đi 3 đơn vị sang phải rồi 3 đơn vị xuống dưới, hoặc đi 3 đơn vị xuống dưới rồi 3 đơn vị sang phải; vì vậy khoảng cách TCG trong hình bằng 6.
(a) Có bao nhiêu điểm nút lưới có khoảng cách TCG đến cả $A$ và $B$ đều bằng 6? Vẽ hình. (2 điểm)
(b) Có bao nhiêu điểm nút lưới có khoảng cách TCG đến cả $A$ và $B$ đều bằng 12? Vẽ hình. (4 điểm)
Chỉ dẫn trên phiếu trả lời: không cho điểm từng phần nhỏ trong mỗi ý. Phiếu trả lời gốc có lưới trống lớn hơn để vẽ.
Hình vẽ là một bàn cờ tam giác. Quân xe, ký hiệu $C$, có thể tấn công dọc theo một trong ba hướng được tô đậm dưới đây.
(a) Đặt nhiều quân xe nhất có thể lên bàn cờ sao cho không có hai quân xe tấn công nhau. (3 điểm)
(b) Quân tượng, ký hiệu $B$, có thể tấn công theo hướng đi qua một trong các góc của ô nó đứng. Hai hình dưới minh họa các ô bị tấn công; các nét đứt chỉ hướng của những góc đó.
Đặt nhiều quân tượng nhất có thể lên bàn cờ sao cho không quân nào tấn công quân khác. (3 điểm)
Phiếu trả lời yêu cầu ghi số quân và vẽ cách đặt cho từng ý, không chia điểm nhỏ trong mỗi ý.
Hình dưới đây là bản đồ 23 thị trấn nối với nhau bằng các con đường; mỗi thị trấn có một tiệm trò chơi điện tử. Andy thích chơi trò chơi điện tử và làm việc ở thị trấn $O$. Mỗi ngày sau giờ làm, anh đi qua tất cả các thị trấn, mỗi thị trấn đúng một lần, để chơi rồi mới về nhà ở thị trấn $H$. Anh dành phần lớn thời gian rảnh ở các tiệm trò chơi nên lơ là bạn gái. Một ngày, cô quyết định đón anh trên đường về, nhưng anh luôn thay đổi lộ trình. Cô phát hiện có một con đường mà anh bắt buộc phải đi qua trong mọi lộ trình có thể, nên định chờ trên con đường đó. Đó là con đường nào?
Phiếu trả lời còn yêu cầu vẽ một lộ trình có thể đi và ghi tên hai thị trấn ở hai đầu con đường. Không cho điểm từng phần.
Anna và Boris chơi với các số nguyên $1,2,3,4,5,6,7,8$. Đầu tiên Anna chọn số nguyên dương $k\le8$. Boris chọn $k$ số trong tám số đó, rồi Anna chọn ba số trong tám số. Anna thắng nếu tổng của mỗi cặp trong ba số cô chọn đều thuộc các số Boris đã chọn.
(a) Giá trị nhỏ nhất của $k$ để Anna có chiến thuật chắc chắn thắng là bao nhiêu? (2 điểm)
(b) Nếu Anna chắc chắn thắng với $k$, hãy đưa ra phản ví dụ cho thấy cô không thể bảo đảm thắng với $k-1$. (4 điểm)
Chỉ dẫn trên phiếu trả lời: không cho điểm từng phần nhỏ trong mỗi ý.
Có 100 số nguyên dương có tổng bằng tích. Tìm tất cả các giá trị có thể của tích.
Ghi chú chấm trên phiếu trả lời: lấy số đáp án đúng trừ số đáp án sai để được số đáp án đúng ròng. Đề quy định câu này 6 điểm nhưng không nói cách đổi số đáp án đúng ròng thành 6 điểm.
