IMSO 2021 Toán học - Tự luận quốc tế

Mali muốn chèn một số dấu “+” vào giữa các chữ số của $777777777777$ (gồm mười hai chữ số 7) sao cho giá trị biểu thức thu được là bội của 30. Có bao nhiêu cách chèn?

Điền mỗi số 2, 3, 4, 5, 6, 7 và 8 đúng một lần vào tám vòng tròn trống (vị trí của số 1 đã được cố định), sao cho tổng hai số ở hai vòng tròn kề nhau luôn là số nguyên tố. Hai cách điền được xem là giống nhau nếu có thể biến cách này thành cách kia bằng phép quay hoặc phép đối xứng. Hãy liệt kê tất cả các cách điền khác nhau.



Lưu ý về câu chữ của nguồn: đề gốc in “tám vòng tròn trống”. Hình thực tế có tổng cộng tám vòng tròn, gồm bảy vòng tròn trống và một vòng tròn đã ghi số 1. Bài được hiểu là điền vào bảy vòng tròn trống đó. Các hình trống dành cho phần trả lời trong bản gốc được giữ lại bên dưới.

Bốn vận động viên A, B, C và D tham gia một cuộc đua. Trước cuộc đua, cả bốn người (được gọi ẩn danh là I, II, III và IV) dự đoán thứ hạng cuối cùng như bảng dưới đây.



I và III mỗi người đoán đúng hai vị trí; II và IV mỗi người đoán đúng một vị trí. Hãy xác định thứ hạng cuối cùng của bốn vận động viên.

Như hình dưới đây, năm người A, B, C, D và E sống trong cùng một ngôi làng. Bảng cho tổng quãng đường bốn người còn lại đi khi đến nhà một người. Nếu tổ chức tiệc tại nhà E thì tổng quãng đường A, B, C và D phải đi là bao nhiêu mét?

Ba người đi xe máy cùng bắt đầu chuyến đi một lúc. Trong chuyến đi, mỗi người chạy xe một thời gian, nghỉ một thời gian rồi tiếp tục chạy xe để trở về nhà; cả ba về đến nhà cùng lúc. Thời gian chạy xe của người thứ nhất gấp hai lần thời gian nghỉ của người thứ hai; thời gian chạy xe của người thứ hai gấp ba lần thời gian nghỉ của người thứ ba; thời gian chạy xe của người thứ ba gấp bốn lần thời gian nghỉ của người thứ nhất. Biết tổng vận tốc của người thứ nhất và người thứ ba là 48 km/h, hãy tìm vận tốc của người thứ hai.

Chú ý: Mỗi người giữ nguyên vận tốc trong suốt thời gian chạy xe.

Hai đường tròn được gọi là “hàng xóm” nếu chúng tiếp xúc nhau. Hình dưới đây có bao nhiêu cặp “hàng xóm”?

Trong hình dưới đây, hình vuông có cạnh 20 cm và “ngũ giác ở giữa” bên trong hình vuông có diện tích 21 cm². Tổng diện tích tất cả các phần tô xám là bao nhiêu cm²?

Trong một giải cờ, mỗi người chơi đúng một ván với mỗi người còn lại. Mỗi ván thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua được 0 điểm. Trong 40 người tham dự, nhiều nhất có bao nhiêu người đạt ít nhất 24 điểm?

Có tám số nguyên dương liên tiếp sao cho tổng của chúng viết được thành tổng của bảy số nguyên dương liên tiếp, nhưng không viết được thành tổng của ba số nguyên dương liên tiếp. Giá trị nhỏ nhất có thể của số lớn nhất trong tám số đó là bao nhiêu?

Chia hình dưới đây thành hai phần bằng nhau về hình dạng và kích thước; có thể quay hoặc lật một phần để khớp với phần kia. Biết diện tích hình ban đầu là 72 cm², hãy tìm chu vi mỗi phần, tính bằng cm.

Năm đội tham gia một giải bóng đá, mỗi đội đấu đúng một trận với mỗi đội còn lại. Mỗi trận thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Sau khi tất cả các trận kết thúc, tổng điểm của năm đội có thể là năm số nguyên dương liên tiếp không? Nếu có, hãy cho một ví dụ.

Trong mỗi ô của bảng $5\times5$ dưới đây, Peter có thể đặt một số viên đá hoặc để trống, sao cho tổng số đá của từng hàng và từng cột đều khác nhau (cả mười tổng đôi một khác nhau). Peter phải dùng ít nhất bao nhiêu viên đá?

Trong hình dưới đây, tam giác EFG và tam giác CDG có diện tích bằng nhau; tỉ số diện tích hai tam giác EBC và BCD là $3:2$; đồng thời $AD:DC=2:1$. Biết diện tích tam giác BDF bằng 29 cm², hãy tìm diện tích tam giác ABC, tính bằng cm².