Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2015

Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn $a\leq b\leq c$?

Hai mươi bốn số dương được xếp trên một đường tròn, mỗi số bằng tích hai số kề nó. Nếu hai số kề nhau là 3 và 4 thì tổng hai mươi bốn số bằng bao nhiêu?

Cho $a,b$ và $c$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $1=\frac12+\frac13+\frac17+\frac1a+\frac1b+\frac1c$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $a+b+c$ là bao nhiêu?

Có 100 chiếc đĩa xếp thành vòng tròn. Susan đi quanh vòng tròn, cứ đến chiếc đĩa thứ 15 lại đặt một viên kẹo. Nếu tiếp tục cho đến khi không thể đặt kẹo lên một đĩa trống nữa thì còn bao nhiêu đĩa trống?

Số nguyên lớn nhất không vượt quá biểu thức sau là bao nhiêu? $$\frac1{\frac1{1985}+\frac1{1986}+\frac1{1987}+\cdots+\frac1{2015}}?$$

Có 81 người lính xếp thành hàng, mang số từ 1 đến 81. Mỗi lượt, họ đếm 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, .... Những người đếm số 1 và 3 rời hàng. Tiếp tục cho đến khi chỉ còn một người. Người lính cuối cùng mang số nào?

Hình dưới cho thấy hình vuông $ABCD$ có cạnh $6$ cm. Biết $E$ là trung điểm $AB$, các điểm $F$ và $G$ nằm trên $BC$ sao cho $BF=FG=GC$. Tổng diện tích phần tô màu, tính bằng cm², là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $\angle ACB=45^\circ$ và $BC=24$ cm. Đường cao từ $A$ xuống $BC$ dài $16$ cm. Các điểm $B^\prime$ và $C^\prime$ nằm trên đường thẳng $BC$ sao cho $BC=B^\prime C^\prime$. Giả sử $AB=A^\prime B^\prime$ và $AC=A^\prime C^\prime$, như hình dưới. Nếu diện tích tam giác $OCC^\prime$ bằng $\frac13$ diện tích tam giác $ABC$ thì độ dài $BB^\prime$, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Trong một số có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn lớn hơn chữ số hàng đơn vị khác không, còn chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục. Đảo ngược thứ tự các chữ số của số ban đầu để được một số mới có bốn chữ số. Có bao nhiêu hiệu khác nhau có thể có giữa số ban đầu và số mới?

Có ba phân số đều tối giản. Các tử số là số nguyên dương có tỉ lệ $3:2:4$, còn các mẫu số cũng là số nguyên dương có tỉ lệ $5:9:15$. Nếu tổng ba phân số là $\frac{28}{45}$ thì tổng các mẫu số là bao nhiêu?

Có $12$ điểm quanh hình vuông $4\times4$ như hình dưới. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh được chọn từ các điểm đó và có ít nhất $1$ góc trong bằng $45^\circ$?

Trong tam giác $ABC$, các điểm $D$ và $E$ nằm trên $BC$ sao cho $BD:DE:EC=2:1:1$. Điểm $M$ trên $AC$ thỏa mãn $\frac{CM}{MA}=\frac13$, và $BM$ cắt $AD$, $AE$ lần lượt tại $H$, $G$. Tìm $BH:HG:GM$.

Từ một tờ giấy hình chữ nhật 16 cm ×18 cm, cắt bỏ ở mỗi góc một hình vuông 3 cm ×3 cm như hình dưới. Có thể cắt nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật 3 cm ×4 cm từ phần giấy còn lại?

Trong bảng $2\times3$, ba số ở hàng thứ nhất đều là số nguyên dương. Số thứ nhất ở hàng thứ hai bằng số thứ nhất ở hàng thứ nhất; số thứ hai ở hàng thứ hai bằng tích hai số đầu ở hàng thứ nhất; số thứ ba ở hàng thứ hai bằng tích cả ba số ở hàng thứ nhất. Nếu tổng ba số ở hàng thứ hai bằng $125$, hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của tổng ba số ở hàng thứ nhất.

Hình cho thấy bàn cờ $6\times6$, có $4$ ô chứa chấm tròn đen và $4$ ô chứa vòng tròn trắng. Dùng bốn màu khác nhau để chia hình theo các đường kẻ thành $4$ miền bằng nhau hoàn toàn về hình dạng và kích thước; mỗi miền chứa $1$ chấm tròn đen và $1$ vòng tròn trắng. Có thể quay các miền nhưng không được lật. Vị trí tương đối của các chấm tròn trong mỗi miền không cần giống nhau.

Tổng tuổi của ba bạn nam bằng tổng tuổi của ba bạn nữ, tích tuổi của ba bạn nam cũng bằng tích tuổi của ba bạn nữ. Cả sáu bạn khác tuổi nhau và đều dưới 20 tuổi. Biết tuổi các bạn đều là số nguyên và bạn nam lớn thứ hai 14 tuổi. Bạn nữ lớn thứ hai bao nhiêu tuổi?

Hình cho thấy chín miếng ghép, trong đó có một miếng giống chữ P và một miếng giống chữ U. Cả chín miếng đều được phép quay hoặc lật.



(a) Xét hai hình dưới. Hình trái là hình vuông $5\times5$ có lỗ hình chữ U. Hình phải là chữ U phóng to gấp đôi. Chọn năm miếng khác nhau, trong đó có miếng hình chữ P, để ghép thành mỗi hình. Tìm một cách ghép cho mỗi hình.



(b) Xét hai hình khác dưới đây. Lần này hình trái là hình vuông $5\times5$ có lỗ hình chữ P. Hình phải là chữ P phóng to gấp đôi. Chọn năm miếng khác nhau, bao gồm cả bốn miếng không dùng ở (a), để ghép thành mỗi hình. Tìm một cách ghép cho mỗi hình.

Hình cho thấy chín vòng tròn nối bởi năm đường liền và hai đường nét đứt. Điền các số $1,2,3,4,5,6,7,8$ và $9$, mỗi số đúng một lần, vào các vòng tròn sao cho số trong vòng tròn giữa trên một đường liền bằng tổng hai số trong hai vòng tròn còn lại trên đường đó, còn số trong vòng tròn giữa trên một đường nét đứt bằng hiệu không âm của hai số trong hai vòng tròn còn lại (lấy số lớn trừ số nhỏ). Tìm tất cả lời giải.

Hình cho thấy một miếng hình con chim gồm hai hình vuông đơn vị và ba nửa hình vuông ghép cạnh với nhau. Có thể quay hoặc lật miếng ghép.



Hình tiếp theo cho thấy một hình chữ thập Hy Lạp được bao quanh bởi bốn miếng hình con chim bằng nhau. Khi hai miếng tiếp xúc nhau, chúng phải tiếp xúc dọc theo một cạnh trọn vẹn hoặc một đường chéo trọn vẹn. Hãy tìm nhiều nhất có thể các hình được bao kín bởi bốn miếng hình con chim.

Anne hỏi tuổi thầy giáo. Thầy trả lời: “Tuổi hiện tại của thầy là một số chính phương, nhưng sau sinh nhật sẽ là một số nguyên tố.” Nếu tuổi thầy lớn hơn 20 và nhỏ hơn 65, thì hiện tại thầy bao nhiêu tuổi?