IMSO 2015 — Phần Toán — Tự luận

Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số $\overline{abc}$ thỏa mãn $a\leq b\leq c$?

Hai mươi bốn số dương được xếp trên một đường tròn, mỗi số bằng tích hai số kề nó. Nếu hai số kề nhau là 3 và 4 thì tổng hai mươi bốn số bằng bao nhiêu?

Cho $a,b$ và $c$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn $1=\frac12+\frac13+\frac17+\frac1a+\frac1b+\frac1c$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $a+b+c$ là bao nhiêu?

Có 100 chiếc đĩa xếp thành vòng tròn. Susan đi quanh vòng tròn, cứ đến chiếc đĩa thứ 15 lại đặt một viên kẹo. Nếu tiếp tục cho đến khi không thể đặt kẹo lên một đĩa trống nữa thì còn bao nhiêu đĩa trống?

Số nguyên lớn nhất không vượt quá biểu thức sau là bao nhiêu? $$\frac1{\frac1{1985}+\frac1{1986}+\frac1{1987}+\cdots+\frac1{2015}}?$$

Có 81 người lính xếp thành hàng, mang số từ 1 đến 81. Mỗi lượt, họ đếm 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, .... Những người đếm số 1 và 3 rời hàng. Tiếp tục cho đến khi chỉ còn một người. Người lính cuối cùng mang số nào?

Hình dưới cho thấy hình vuông $ABCD$ có cạnh $6$ cm. Biết $E$ là trung điểm $AB$, các điểm $F$ và $G$ nằm trên $BC$ sao cho $BF=FG=GC$. Tổng diện tích phần tô màu, tính bằng cm², là bao nhiêu?

Trong tam giác $ABC$, $\angle ACB=45^\circ$ và $BC=24$ cm. Đường cao từ $A$ xuống $BC$ dài $16$ cm. Các điểm $B^\prime$ và $C^\prime$ nằm trên đường thẳng $BC$ sao cho $BC=B^\prime C^\prime$. Giả sử $AB=A^\prime B^\prime$ và $AC=A^\prime C^\prime$, như hình dưới. Nếu diện tích tam giác $OCC^\prime$ bằng $\frac13$ diện tích tam giác $ABC$ thì độ dài $BB^\prime$, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Trong một số có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn lớn hơn chữ số hàng đơn vị khác không, còn chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục. Đảo ngược thứ tự các chữ số của số ban đầu để được một số mới có bốn chữ số. Có bao nhiêu hiệu khác nhau có thể có giữa số ban đầu và số mới?

Có ba phân số đều tối giản. Các tử số là số nguyên dương có tỉ lệ $3:2:4$, còn các mẫu số cũng là số nguyên dương có tỉ lệ $5:9:15$. Nếu tổng ba phân số là $\frac{28}{45}$ thì tổng các mẫu số là bao nhiêu?

Có $12$ điểm quanh hình vuông $4\times4$ như hình dưới. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh được chọn từ các điểm đó và có ít nhất $1$ góc trong bằng $45^\circ$?

Trong tam giác $ABC$, các điểm $D$ và $E$ nằm trên $BC$ sao cho $BD:DE:EC=2:1:1$. Điểm $M$ trên $AC$ thỏa mãn $\frac{CM}{MA}=\frac13$, và $BM$ cắt $AD$, $AE$ lần lượt tại $H$, $G$. Tìm $BH:HG:GM$.

Từ một tờ giấy hình chữ nhật 16 cm ×18 cm, cắt bỏ ở mỗi góc một hình vuông 3 cm ×3 cm như hình dưới. Có thể cắt nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật 3 cm ×4 cm từ phần giấy còn lại?