IMSO 2015 — Phần Toán — Trả lời ngắn

Anne hỏi tuổi thầy giáo. Thầy trả lời: “Tuổi hiện tại của thầy là một số chính phương, nhưng sau sinh nhật sẽ là một số nguyên tố.” Nếu tuổi thầy lớn hơn 20 và nhỏ hơn 65, thì hiện tại thầy bao nhiêu tuổi?

Cho $\overline{240a84}\times234=\overline{56b90256}$. Giá trị của $a+b$ là bao nhiêu?

Trong biểu thức $5\_\_\_4\_\_\_6\_\_\_3$, điền mỗi dấu phép toán $+,-$ và $\times$ đúng một lần vào ba chỗ trống và liệt kê tất cả các giá trị có thể có. Giá trị lớn nhất của biểu thức nhận được là bao nhiêu?

Trong hình dưới, bát giác đều $ABCDEFGH$ và lục giác đều $IJKLMN$ cùng có tâm $O$, với $AB\parallel IJ$. Nếu $\angle CBJ=56^\circ$, thì số đo theo độ của $\angle BJK$ bằng bao nhiêu?

Một bạn nam có một tách trà và một bạn nữ có một cốc rỗng với dung tích bằng tách trà. Bước thứ nhất, bạn nam rót $\frac12$ lượng trà trong tách sang cốc. Bước thứ hai, bạn nữ rót $\frac13$ lượng trà trong cốc sang tách. Bước thứ ba, bạn nam rót $\frac14$ lượng trà trong tách sang cốc. Bước thứ tư, bạn nữ rót $\frac15$ lượng trà trong cốc sang tách. Tiếp tục rót luân phiên như vậy, mỗi bước mẫu số tăng thêm $1$. Sau bước thứ mười ba, lượng trà trong tách chiếm bao nhiêu phần tổng lượng trà?

Chủ tịch một ủy ban gồm 5 người ngồi cố định trên một ghế tại bàn tròn. Có bao nhiêu cách xếp 4 thành viên còn lại ngồi cùng bàn nếu có đúng 8 ghế?

Trong sơ đồ dưới, mỗi số là hiệu không âm của hai số ngay phía trên nó. Trung bình cộng của tám giá trị có thể có của $z$ bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 2015 không chia hết cho bất kỳ số nào trong các số 2, 20, 201 và 2015?

Trong khảo sát 100 học sinh, 84 em thích chơi quần vợt, 74 em thích trượt tuyết và 62 em thích cả quần vợt lẫn trượt tuyết. Có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn đó?

Ta biết 0, 2, 4, 6 và 8 là các chữ số chẵn. Có bao nhiêu chữ số chẵn được dùng khi viết các số từ 1 đến 100?

Hai số được gọi là các số gương nếu một số nhận được bằng cách đảo ngược thứ tự các chữ số của số kia. Ví dụ 123 và 321 là một cặp như vậy. Nếu tích một cặp số gương là 146047 thì tổng của chúng là bao nhiêu?

Trong lục giác dưới, số $1$ được đặt ở tam giác trên cùng như hình. Có bao nhiêu cách điền các số $2,3,4,5$ và $6$ vào các tam giác còn trống, sao cho các tổng của hai số trong hai tam giác đối diện chính là $5,7$ và $9$?

Sáu hình chóp bằng nhau có đáy hình vuông được ghép thành một khối lập phương thể tích $2744$ cm³ (xem Hình 2). Độ dài $OH$, tính bằng cm, là chiều cao từ đỉnh đến đáy hình vuông $ABCD$ của mỗi hình chóp, bằng bao nhiêu? (Xem Hình 1).

Xét các số $1\times2,2\times3,3\times4,\ldots,29\times30$. Có bao nhiêu số chia hết cho $3$ hoặc $5$?

Một con cáo nhìn thấy một con thỏ đang ăn cỏ cách mình 21 m. Trong một giây thỏ chạy được 5 bước, cáo chỉ chạy được 3 bước. Quãng đường cáo đi trong 4 bước bằng quãng đường thỏ đi trong 9 bước. Nếu mỗi bước của thỏ dài 0.6 m thì cáo mất bao nhiêu giây để đuổi kịp thỏ?

Xét tất cả các số có ba chữ số khác nhau và không sử dụng chữ số “0”. Tìm tổng của tất cả các số có ba chữ số như vậy.

Trong hình dưới, $ABC$ là tam giác vuông với $\angle C=90^\circ$. Đường phân giác của $\angle A$ cắt $CB$ tại $D$. Nếu $CD=3$ cm và $BD=5$ cm, thì độ dài $AB$, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Hình dưới được ghép từ $15$ hình vuông đơn vị. Biết $AB$ chia diện tích hình đã cho thành hai phần bằng nhau. Tìm giá trị $\frac{MB}{BN}$.

Cho hình vuông $ABCD$ với các điểm $E,F,G$ và $H$ là trung điểm các cạnh như hình dưới. Nếu tổng diện tích phần tô màu là $15$ cm² thì diện tích hình vuông $ABCD$, tính bằng cm², là bao nhiêu?

Các chữ cái I, M, S, O và các chữ số 1, 5 được viết thành một hàng theo một thứ tự nào đó.

(1) M ở vị trí đầu hoặc cuối tính từ trái sang.
(2) S ở vị trí thứ tư từ trái sang.
(3) S nằm bên trái O, không nhất thiết liền kề.
(4) I nằm bên phải M, không nhất thiết liền kề.
(5) Chữ O và chữ số 1 đứng cạnh nhau.
(6) Có đúng một chữ cái hoặc chữ số khác nằm giữa I và 1.

Ký tự nào phải ở vị trí thứ hai từ trái sang?