Stekel và Prik chơi trên một bàn cờ $m\times n$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương. Hai người luân phiên đi, Stekel đi trước. Trong mỗi lượt, Stekel phải đặt một quân cờ vào một ô chưa có quân. Trong lượt của mình, Prik cũng phải đặt một quân vào một ô chưa có quân, nhưng ô đó phải kề với ô mà Stekel vừa đặt quân ở lượt trước theo một cạnh.
Prik thắng ngay khi toàn bộ bàn cờ được lấp đầy quân cờ. Stekel thắng nếu đến lượt Prik mà Prik không thể đặt quân, trong khi trên bàn vẫn còn ít nhất một ô trống.
Với mọi cặp số nguyên dương $(m,n)$, hãy xác định người có chiến lược thắng.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $C$. Gọi $E$ là trọng tâm tam giác $ACD$ và $F$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Điểm $P$ thỏa mãn $\angle CEP=90^\circ$ và $|CP|=|AP|$, còn điểm $Q$ thỏa mãn $\angle CFQ=90^\circ$ và $|CQ|=|BQ|$.
Chứng minh rằng $PQ$ đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.
Tìm tất cả các bộ bốn số thực $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ thỏa mãn sáu đẳng thức sau:
$$
\begin{aligned}
x_1+x_2&=x_3^2+x_4^2+6x_3x_4,\\
x_1+x_3&=x_2^2+x_4^2+6x_2x_4,\\
x_1+x_4&=x_2^2+x_3^2+6x_2x_3,\\
x_2+x_3&=x_1^2+x_4^2+6x_1x_4,\\
x_2+x_4&=x_1^2+x_3^2+6x_1x_3,\\
x_3+x_4&=x_1^2+x_2^2+6x_1x_2.
\end{aligned}
$$
Với mỗi số nguyên tố $p$, ở đâu đó trong đa vũ trụ có một vương quốc gồm $p$ hòn đảo được đánh số từ $1$ đến $p$, với một cây cầu nối mỗi cặp đảo. Khi Jana đến thăm một vương quốc, các hạn chế do vi-rút corona buộc cô phải tuân theo quy tắc sau: ngay sau khi đến đảo $m$, cô chỉ được đi sang đảo $n$ nếu
$$
p\mid(m^2-n+1)(n^2-m+1).
$$
Chứng minh rằng có vô số vương quốc mà Jana không thể đến thăm tất cả các đảo theo cách này.
Trên một bảng ô vuông $2021\times2021$, chọn $k$ ô vuông đơn vị sao cho mỗi ô được chọn có ít nhất một đỉnh chung với nhiều nhất một ô được chọn khác. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.
Cho hình bình hành lồi $ABCD$ có góc tại $A$ là góc nhọn. Gọi $P,Q$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua các đường thẳng $BC,CD$. Đường thẳng $BD$ cắt phần trong của các đoạn thẳng $AP,AQ$ lần lượt tại $R,S$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $BRP$ và $DQS$ tiếp xúc nhau.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHO$. Chứng minh rằng điểm đối xứng của $K$ qua đường thẳng $OH$ nằm trên $BC$.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHO$. Chứng minh rằng điểm đối xứng của $K$ qua đường thẳng $OH$ nằm trên $BC$.
Cho số nguyên tố $p\gt2$. Patricia muốn gán bảy số không nhất thiết khác nhau thuộc $\{1,2,\ldots,p\}$ vào các chấm đen trong hình dưới đây sao cho tích của ba số trên mỗi đường thẳng hoặc đường tròn đều có cùng số dư khi chia cho $p$.
(a) Giả sử Patricia dùng số $p$ ít nhất một lần. Hỏi cô ấy phải dùng số $p$ tổng cộng ít nhất bao nhiêu lần?
(b) Giả sử Patricia không dùng số $p$. Có bao nhiêu cách gán các số? Hai cách được xem là khác nhau nếu có ít nhất một chấm đen được gán hai số khác nhau. Không quay hoặc lấy đối xứng hình vẽ.
Trên một bàn cờ hình chữ nhật gồm $m\times n$ ô vuông, với $m,n\ge3$, người ta đặt các quân domino (miếng ghép $2\times1$ hoặc $1\times2$) không chồng lên nhau. Mỗi quân domino phủ đúng hai ô của bàn cờ. Giả sử không thể đặt thêm bất kỳ quân domino nào lên bàn cờ và bốn ô góc không đồng thời trống. Chứng minh rằng ít nhất $\frac23$ số ô của bàn cờ được phủ bởi các quân domino.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau: với mọi bộ ba số thực dương $(a,b,c)$, tồn tại bộ ba số nguyên không âm $(k,\ell,m)$ sao cho $an^k,bn^\ell,cn^m$ là độ dài ba cạnh của một tam giác không suy biến.
Trên một bàn cờ hình chữ nhật gồm $m\times n$ ô vuông, với $m,n\ge3$, người ta đặt các quân domino (miếng ghép $2\times1$ hoặc $1\times2$) không chồng lên nhau và không nhô ra ngoài bàn cờ. Mỗi quân domino phủ đúng hai ô của bàn cờ. Giả sử không thể đặt thêm bất kỳ quân domino nào lên bàn cờ và bốn ô góc không đồng thời trống. Chứng minh rằng ít nhất $\frac23$ số ô của bàn cờ được phủ bởi các quân domino.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất sau: với mọi bộ ba số thực dương $(a,b,c)$, tồn tại bộ ba số nguyên không âm $(k,\ell,m)$ sao cho $an^k,bn^\ell,cn^m$ là độ dài ba cạnh của một tam giác không suy biến.
