Cho hai đường tròn $(O_1), (O_2)$ có bán kính khác nhau, cắt nhau tại hai điểm $A, B$. Tiếp tuyến chung $CD$ của hai đường tròn (tiếp tuyến gần điểm $B$ hơn) với $C \in (O_1)$ và $D \in (O_2)$. Vẽ các đường kính $BP, BQ$ của $(O_1), (O_2)$. Đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với $CD$ cắt $PQ$ tại $K$.
a) Chứng minh rằng $B$ là trực tâm của tam giác $KCD$.
b) Vẽ các đường phân giác $BX, BY$ lần lượt của các tam giác $KBP, KBQ$ với $X, Y \in PQ$. Chứng minh rằng $KX = KY$.
Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1$ ta có $v_3(u_n) = v_3(n)$, trong đó $(u_n)$ là dãy số với $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ và
$$
u_{n+2} = 2u_{n+1} + 2u_n, \forall n \ge 0.$$
Trong mỗi ô của một khu vườn có dạng bảng $2022 \times 2022$, ban đầu có một cái cây có chiều cao $0$. Một người làm vườn và một người đốn gỗ lần lượt thay phiên nhau chơi trò chơi sau, người làm vườn đi trước:
* Người làm vườn chọn một ô trong vườn. Mỗi cây trên ô đó và trên tất cả các ô xung quanh (có nhiều nhất tám ô như vậy) khi đó cao thêm một đơn vị.
* Sau đó người đốn gỗ chọn bốn ô khác nhau trên bảng. Mỗi cây có chiều cao dương trên các ô đó khi đó thấp đi một đơn vị.
Ta nói một cây là hùng vĩ nếu chiều cao của nó ít nhất là $10^6$. Hãy xác định số $K$ lớn nhất sao cho người làm vườn có thể đảm bảo rằng cuối cùng có $K$ cây hùng vĩ trên bảng, bất kể người đốn gỗ chơi như thế nào.
Cho số nguyên $n \ge 3$ và các số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thuộc đoạn $[0, 1]$. Đặt $s = x_1 + x_2 + \dots + x_n$, với $s \ge 3$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $i$ và $j$ với $1 \le i \lt j \le n$ sao cho
$$
2^{j-i} x_i x_j \gt 2^{s-3}.
$$
Với mỗi $1 \le i \le 9$ và $T \in \mathcal{N}$, định nghĩa $d_i(T)$ là tổng số lần chữ số $i$ xuất hiện khi viết tất cả các bội của $2023$ trong khoảng từ $1$ đến $T$ (kể cả hai đầu) trong hệ thập phân. Chứng minh rằng có vô số $T \in \mathcal{N}$ sao cho trong các số $d_1(T), d_2(T), \dots, d_9(T)$ có đúng hai giá trị phân biệt.
Chứng minh rằng có thể chọn 20 số trong các số $1, 2, \ldots, 10000$ sao cho tổng các phần tử của mọi tập con khác rỗng của 20 số này không phải là lũy thừa bậc $n$ của một số nào đó (với mọi $n \gt 1$).
Tìm tất cả các số nguyên dương $n \gt 1$ sao cho: tồn tại đa thức $P(x)$ hệ số thực bậc $n$, có hệ số cao nhất bằng $1$, và tồn tại các số thực phân biệt $r, s, t$ có tổng bằng $-2023$ sao cho $P(k) \in \{r, s, t\}$ với mọi $k = 1, 2, 3, \dots, 3n - 1, 3n$.
Một quân domino là một khối hình chữ nhật $1 \times 2$. Một bảng ô vuông $2023 \times 2023$ được lấp đầy bởi các quân domino không chồng lên nhau, chừa lại đúng một ô trống $1 \times 1$. Sau đó John lặp đi lặp lại việc đẩy các quân domino vào ô trống; mỗi quân domino được di chuyển nhiều nhất một lần. Hỏi John có thể di chuyển domino nhiều nhất bao nhiêu lần? (Ví dụ: trong bảng $3 \times 3$ dưới đây, John có thể di chuyển 2 quân domino: D, rồi đến A.)
Cho $n \ge 2$ là một số nguyên dương. Với mỗi số nguyên $a$, ký hiệu $Q_a(x)$ là đa thức $x^n + ax$. Cho $p$ là một số nguyên tố và $S_a$ là tập hợp
$$
S_a = \{b \mid 0 \le b \le p-1, \exists c \in \mathbb{Z}, Q_a(c) \equiv b \pmod{p}\}.
$$
Chứng minh rằng biểu thức $\frac{1}{p-1} \sum_{a=1}^{p-1} |S_a|$ là một số nguyên.
Xác định tất cả các số thực $x$ nằm giữa $0$ và $180$ sao cho có thể chia một tam giác đều thành hữu hạn tam giác, mỗi tam giác có một góc bằng $x^\circ$.
Cho $ABCD$ là một hình vuông, $E$ là một điểm trên cạnh $DC$, $F$ và $G$ lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AE$ và từ $A$ xuống $BE$. Giả sử $DF$ và $CG$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng $\angle AHB = 90^\circ$.
Tô màu một bảng ô vuông $20000 \times 20000$ bằng $2000$ màu khác nhau, mỗi ô một màu. Hai ô được gọi là láng giềng nếu chúng có chung một đỉnh. Một đường đi là một dãy các ô sao cho $2$ ô liên tiếp là láng giềng. Đánh dấu $k$ ô. Với mỗi ô không được đánh dấu $x$, có đúng $1$ ô được đánh dấu $y$ cùng màu sao cho $x$ và $y$ được nối bởi một đường đi gồm các ô cùng màu. Với $2$ ô được đánh dấu bất kỳ cùng màu, mọi đường đi nối chúng phải đi qua các ô có tất cả các màu. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.
Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$. Các điểm $D$, $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB$, $BC$ và $CA$ sao cho $|BD| = |BE|$ và $|CF| = |CE|$ (xem hình). Góc $\angle FED$ bằng bao nhiêu độ?
(A) 30
(B) 37,5
(C) 45
(D) 52,5
(E) Không thể xác định, vì đáp số phụ thuộc vào độ lớn của góc $\angle CBA$.
Một thợ kim hoàn có hai hợp kim. Hợp kim thứ nhất chứa $90\%$ vàng, hợp kim thứ hai chứa $54\%$ vàng. Người thợ đã trộn $320~\mathrm{g}$ hợp kim thứ nhất và $160~\mathrm{g}$ hợp kim thứ hai để được một hợp kim mới. Hợp kim mới chứa bao nhiêu phần trăm vàng?
(A) 33
(B) 48
(C) 65
(D) 72
(E) 78
