MathNet 1996 — Phần 01

$ABC$ có góc nhọn. $D$ là một điểm biến thiên ở phía $BC$. $O_1$ là tâm đường tròn của $ABD$, $O_2$ là tâm đường tròn của $ACD$, và $O$ là tâm đường tròn của $AO_1O_2$. Tìm quỹ tích của $O$.

Đặt $f(n)$ là số lượng $1$ nhỏ nhất cần thiết để biểu thị số nguyên dương $n$ chỉ sử dụng các $1$, các dấu $+$, các dấu $\times$ và dấu ngoặc. Ví dụ: bạn có thể biểu thị $80$ bằng $13$ $1$ như sau: $(1+1+1+1+1) \times (1+1+1+1) \times (1+1+1+1)$. Chứng minh rằng $3\log_3 n \le f(n) \le 5\log_3 n$ cho $n \gt 1$.

Có $n$ chàng trai $B_1, B_2, \dots, B_n$ và $n$ cô gái $G_1, G_2, \dots, G_n$. Mỗi chàng trai xếp các cô gái theo thứ tự ưu tiên và mỗi cô gái xếp các chàng trai theo thứ tự ưu tiên. Chứng minh rằng chúng ta có thể sắp xếp các bé trai và bé gái thành các cặp $n$ sao cho không thể tìm được bé trai và bé gái thích nhau hơn bạn đời của mình. Ví dụ: nếu $(B_1, G_3)$ và $(B_4, G_7)$ là hai trong số các cặp thì không phải trường hợp $B_4$ thích $G_3$ hơn $G_7$ và $G_3$ thích $B_4$ hơn $B_1$.

Giả sử $p(x)$ là đa thức $x^3 + 14x^2 - 2x + 1$. Gọi $p^{(n)}(x)$ là $p(p^{(n-1)}(x))$. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $N$ sao cho $p^{(N)}(x) - x$ chia hết cho $101$ với mọi số nguyên $x$.

Có tồn tại một tập hợp các điểm $n \gt 2$ trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và tâm đường tròn ngoại tiếp của ba điểm bất kỳ của tập hợp đó cũng nằm trong tập hợp đó không?

Chứng minh rằng phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$ có vô số nghiệm là số nguyên dương.

Đặt $S$ là tập hợp các số nguyên chứa các số $0$ và $1996$. Giả sử thêm rằng mọi nghiệm nguyên của bất kỳ đa thức khác 0 nào có hệ số trong $S$ cũng thuộc về $S$. Chứng minh rằng $-2$ thuộc $S$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng chứa các đường chéo của một 1996-giác đều, và $\beta \neq 0$ là một góc khác như vậy. Chứng minh $\alpha / \beta$ là số hữu tỉ.

Trên bàn cờ vô hạn, hai người chơi lần lượt đánh dấu vào một ô chưa được đánh dấu. Một trong số họ sử dụng $\times$, $o$ còn lại. Người đầu tiên lấp đầy hình vuông $2 \times 2$ bằng các biểu tượng của mình sẽ thắng. Người chơi bắt đầu có thể luôn thắng không?

Các số thực $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1996}$ có tính chất sau: với mọi đa thức $W$ cấp $2$ thì ít nhất ba trong số các số $W\left(x_{1}\right), W\left(x_{2}\right), \ldots, W\left(x_{1996}\right)$ bằng nhau. Chứng minh rằng có ít nhất ba số $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{1996}$ bằng nhau.

Với số thực dương nào $a, b$ thực hiện bất đẳng thức
$$
x_{1} \cdot x_{2}+x_{2} \cdot x_{3}+\cdots+x_{n-1} \cdot x_{n}+x_{n} \cdot x_{1} \geq x_{1}^{a} \cdot x_{2}^{b} \cdot x_{3}^{a}+x_{2}^{a} \cdot x_{3}^{b} \cdot x_{4}^{a}+\cdots+x_{n}^{a} \cdot x_{1}^{b} \cdot x_{2}^{a}
$$
giữ cho tất cả các số nguyên $n\gt 2$ và số thực dương $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ?

Bốn đống lần lượt chứa các kết quả khớp $38$, $45$, $61$ và $70$. Hai người chơi lần lượt chọn hai đống bất kỳ và lấy một số kết quả khác 0 từ một đống và một số kết quả khác 0 từ đống kia. Người chơi không thể di chuyển sẽ thua. Ai trong số những người chơi có chiến lược chiến thắng?

Xét các hàm $f$ được xác định trên tập hợp các số nguyên sao cho
$$
f(x) = f\left(x^{2} + x + 1\right),
$$
cho mọi số nguyên $x$. Tìm

(a) tất cả các chức năng đều,

(b) tất cả các chức năng kỳ lạ thuộc loại này.

$ABCD$ là hình thang ($AD \parallel BC$). $P$ là điểm trên đường $AB$ sao cho $\angle CPD$ là lớn nhất. $Q$ là điểm trên đường $CD$ sao cho $\angle BQA$ là lớn nhất. Cho $P$ nằm trên đoạn $AB$, hãy chứng minh rằng $\angle CPD = \angle BQA$.

Sử dụng mỗi chữ số trong số tám chữ số $1, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ và $9$ đúng một lần, số có ba chữ số $A$, hai số có hai chữ số $B$ và $C$, $B \lt C$ và số có một chữ số $D$ được hình thành. Những con số như $A + D = B + C = 143$. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này?

Ban giám khảo của một kỳ thi Olympic ban đầu có 30 thành viên. Mỗi thành viên ban giám khảo cho rằng một số đồng nghiệp của mình có năng lực, trong khi tất cả những người khác thì không, và những ý kiến ​​​​này không thay đổi. Vào đầu mỗi phiên thi, một cuộc bỏ phiếu diễn ra và những thành viên không đủ năng lực theo ý kiến ​​của hơn một nửa số cử tri sẽ bị loại khỏi ban giám khảo của phần còn lại của Olympic. Chứng minh rằng sau tối đa 15 buổi sẽ không còn trường hợp loại trừ nào nữa. (Lưu ý rằng không ai bỏ phiếu về năng lực của chính mình.)

Giả sử $ABCD$ là tứ giác lồi nội tiếp và $r_{a}, r_{b}, r_{c}, r_{d}$ lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp trong các tam giác $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$. Chứng minh rằng $r_{a} + r_{c} = r_{b} + r_{d}$.

Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $a b = c d$. Chứng minh $a + b + c + d$ không phải là số nguyên tố.

Đồ thị hàm số $f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ (trong đó $n\gt 1$), cắt đường thẳng $y=b$ tại các điểm $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$ (từ trái sang phải) và đường thẳng $y=c$ ($c \neq b$) tại các điểm $C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}$ (từ trái sang phải). Giả sử $P$ là một điểm trên đường thẳng $y=c$, ở bên phải điểm $C_{n}$. Tìm tổng $\cot \angle B_{1} C_{1} P+\cdots+\cot \angle B_{n} C_{n} P$.

Có thể phân chia tất cả các số nguyên dương thành các tập rời nhau $A$ và $B$ sao cho
(i) không có ba số của cấp số cộng $A$,
(ii) không có cấp số cộng vô hạn không cố định nào có thể được hình thành bởi các số $B$?