MathNet 2003 — Phần 03

Chúng ta muốn tô màu các số nguyên $1,2,3, \ldots, 10$ thành đỏ, lục và lam để không có hai số $a$ và $b$ có $a-b$ lẻ có cùng màu. (Chúng tôi không yêu cầu phải sử dụng cả ba màu.) Có bao nhiêu cách thực hiện điều này?

Trong tam giác $ABC$, $\angle ABC = 50^{\circ}$ và $\angle ACB = 70^{\circ}$. Gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Một đường tròn tiếp xúc với $BC$ tại $B$ và cũng tiếp tuyến với đoạn $AD$; đường tròn này lại cắt $AB$ tại $P$. Một đường tròn khác tiếp xúc với $BC$ tại $C$ và cũng tiếp tuyến với đoạn $AD$; đường tròn này lại cắt $AC$ tại $Q$. Tìm $\angle APQ$ (tính bằng độ).

Đối với cặp số nguyên $a$ và $b$, với $0 \lt a \lt b \lt 1000$, tập $S \subseteq \{1, 2, \dots, 2003\}$ được gọi là *tập bỏ qua* cho $(a, b)$ nếu với bất kỳ cặp phần tử $s_1, s_2 \in S$, $|s_1 - s_2| \notin \{a, b\}$ nào. Đặt $f(a, b)$ là kích thước tối đa của bộ bỏ qua cho $(a, b)$. Xác định giá trị tối đa và tối thiểu của $f$.

Tứ giác lồi $M A T H$ có $H M / M T = 3 / 4$ và $\angle A T M = \angle M A T = \angle A H M = 60^{\circ}$. $N$ là trung điểm của $M A$ và $O$ là một điểm trên $T H$ sao cho các đường thẳng $M T$, $A H$, $N O$ đồng quy. Tìm tỉ số $H O / O T$.

$r$ và $s$ là các số nguyên sao cho
$$
3 r \geq 2 s - 3 \text{và} 4 s \geq r + 12.
$$
Giá trị nhỏ nhất có thể có của $r / s$ là bao nhiêu?

Đối với $x$ là số thực, đặt $f(x)=0$ nếu $x\lt 1$ và $f(x)=2x-2$ nếu $x \geq 1$. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình
$$
f(f(f(f(x))))=x ?
$$

Năm nhà toán học tìm thấy một túi 100 đồng tiền vàng trong một căn phòng. Họ đồng ý chia các đồng tiền theo phương án sau: - Người lớn tuổi nhất trong phòng đề nghị phân chia đồng tiền giữa những người có mặt. (Không có đồng xu nào có thể được chia nhỏ.) Sau đó, tất cả có mặt, bao gồm cả người đề xuất, bỏ phiếu cho đề xuất. - Nếu ít nhất $50\%$ Trong số những người có mặt bỏ phiếu ủng hộ đề xuất, các đồng tiền được phân phối tương ứng và mọi người về nhà. (Đặc biệt, một đề xuất thắng trên một cuộc bỏ phiếu hòa.) - Nếu ít hơn $50\%$ Trong số những người có mặt bỏ phiếu ủng hộ đề xuất, người đề xuất phải rời khỏi phòng, không nhận tiền xu. Sau đó, quá trình được lặp lại: người lớn tuổi nhất còn lại đề xuất một sự phân chia, v.v. - Không được phép thông tin hoặc thảo luận dưới bất kỳ hình thức nào, ngoài những gì cần thiết để người đề xuất nêu đề xuất của mình, và các cử tri bỏ phiếu bầu của họ. Giả sử rằng mỗi người đều thông minh như nhau và mỗi người cư xử tối ưu để tối đa hóa phần của mình. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu?

Một hạt chuyển động dọc theo trục $x$ sao cho vận tốc của nó tại vị trí $x$ được tính theo công thức $v(x) = 2 + \sin x$. Gia tốc của nó tại $x = \frac{\pi}{6}$ là bao nhiêu?

Đường tròn $\omega$ được vẽ qua các đỉnh $A$ và $B$ của tam giác $ABC$. Nếu $\omega$ cắt $AC$ tại điểm $M$ và $BC$ tại điểm $P$, và đoạn $MP$ chứa tâm của đường tròn nội tiếp $ABC$. Cho $AB = c$, $BC = a$ và $CA = b$, tìm $MP$.

Xác định các số Fibonacci theo $F_{0}=0$, $F_{1}=1$, $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ cho $n \geq 2$. Với bao nhiêu $n$, $0 \leq n \leq 100$, $F_{n}$ có phải là bội số của $13$ không?

Gọi $\mathbb{N}$ là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ sao cho
$$
f(m+n)f(m-n) = f(m^2)
$$
cho tất cả $m, n \in \mathbb{N}$.

Bạn có các switch $2003$, được đánh số từ $1$ đến $2003$, được sắp xếp thành một vòng tròn. Ban đầu, mỗi công tắc ở trạng thái BẬT hoặc TẮT và tất cả cấu hình của các công tắc đều có khả năng như nhau. Bạn thực hiện thao tác sau: đối với mỗi công tắc $S$, nếu hai công tắc bên cạnh $S$ ban đầu ở cùng một vị trí thì bạn đặt $S$ thành BẬT; nếu không, bạn đặt $S$ thành TẮT. Xác suất để tất cả các công tắc bây giờ sẽ BẬT là bao nhiêu?

Phân vùng của số $n$ là một dãy các số nguyên dương, được sắp xếp theo thứ tự giảm dần, có tổng là $n$. Ví dụ: $n=4$ có 5 phân vùng: $1+1+1+1=2+1+1=2+2=3+1=4$. Cho hai phân vùng khác nhau có cùng số, $n=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{l}$, trong đó $k \leq l$, phân vùng đầu tiên được cho là chiếm ưu thế phân vùng thứ hai nếu tất cả các bất đẳng thức sau giữ nguyên:
$$
\begin{aligned}
a_{1} & \geq b_{1} ; \\
a_{1}+a_{2} & \geq b_{1}+b_{2} ; \\
a_{1}+a_{2}+a_{3} & \geq b_{1}+b_{2}+b_{3} ; \\
& \vdots \\
a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k} & \geq b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{k} .
\end{aligned}
$$
Tìm càng nhiều phân vùng có số $n=20$ càng tốt sao cho không có phân vùng nào chiếm ưu thế hơn bất kỳ phân vùng nào khác. Điểm của bạn sẽ là số phân vùng bạn tìm được. Nếu bạn mắc lỗi và một trong các phân vùng của bạn lấn át phân vùng khác, điểm của bạn là $m$ lớn nhất sao cho các phân vùng $m$ đầu tiên bạn liệt kê tạo thành câu trả lời hợp lệ.

Một máy tính bị hỏng có phím $+$ và $\times$ bị chuyển đổi. Với bao nhiêu cặp số nguyên $(a, b)$, nó sẽ tính toán chính xác $a+b$ bằng cách sử dụng khóa $+$ có nhãn?

Gọi $r, s, t$ là nghiệm của phương trình $x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$. Giá trị của $(r s)^{2}+(s t)^{2}+(r t)^{2}$ tính theo $a, b$ và $c$ là bao nhiêu?

Lấy một quả cầu đất sét có bán kính $13$ và khoan một lỗ tròn có bán kính $5$ xuyên qua tâm của nó. Lấy "hạt" còn lại và nặn nó thành một quả cầu mới. Bán kính của quả cầu này là bao nhiêu?

Daniel và Scott đang chơi một trò chơi trong đó người chơi thắng ngay khi có nhiều hơn đối thủ hai điểm. Cả hai người chơi đều xuất phát ngang bằng và lần lượt kiếm được từng điểm. Nếu Daniel có cơ hội $60\%$ giành được mỗi điểm thì xác suất để anh ấy thắng trò chơi là bao nhiêu?

Một giáo viên phải chia đều 221 quả táo cho 403 học sinh. Hỏi cô ấy phải cắt những quả táo thành bao nhiêu miếng? (Toàn bộ quả táo chưa cắt được tính là một miếng.)

Cần bao nhiêu hình lục giác đều nhỏ nhất có chiều dài cạnh $1$ để bao phủ hoàn toàn một đĩa có bán kính $1$?

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $(p, q, r)$ có thứ tự sao cho
$$
p \mid q^r + 1, \quad q \mid r^p + 1, \quad r \mid p^q + 1.
$$