MathNet 2005 — Phần 03

Giả sử có các đoạn thẳng $4n$ có độ dài đơn vị bên trong một đường tròn có bán kính $n$. Hơn nữa, ta có đường thẳng $L$. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng $L'$ song song hoặc vuông góc với $L$ và $L'$ cắt ít nhất hai đoạn thẳng đã cho.

Trên một hành tinh có người ngoài hành tinh $3 \times 2005!$ và ngôn ngữ $2005$. Mỗi cặp người ngoài hành tinh giao tiếp với nhau bằng chính xác một ngôn ngữ. Chứng minh rằng có những người ngoài hành tinh $3$ giao tiếp với nhau bằng một ngôn ngữ chung.

Giả sử $M$ là một điểm trên cạnh $AB$ của $\triangle ABC$ sao cho các đường tròn nội tiếp $\triangle AMC$ và $\triangle BMC$ có cùng bán kính. Hai đường tròn nội tiếp, có tâm tại $O_1$ và $O_2$, gặp $AB$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Được biết, diện tích của $\triangle ABC$ gấp 6 lần diện tích của tứ giác $PQO_2O_1$, hãy xác định các giá trị có thể có của $\frac{AC+BC}{AB}$. Biện minh cho yêu cầu của bạn.

Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực dương sao cho $a + b + c + d = 1$. Chứng minh rằng
$$
6(a^3 + b^3 + c^3 + d^3) \ge (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + \frac{1}{8}.
$$

Gọi $AD$, $BE$ và $CF$ lần lượt là độ cao của $\triangle ABC$. Gọi $P$, $Q$ và $R$ lần lượt là các điểm trên các đường thẳng $BC$, $CA$ và $AB$ sao cho $AP$ vuông góc với $EF$, $BQ$ vuông góc với $FD$ và $CR$ vuông góc với $DE$. Chứng minh rằng $AP$, $BQ$ và $CR$ đồng thời.

Gọi $O$ và $H$ lần lượt là tâm đường tròn và trực tâm của $\triangle ABC$. Gọi $A'$, $B'$ và $C'$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$ và $AB$ và $D$, $E$ và $F$ lần lượt là chân của $A$, $B$ và $C$ ở các phía đối diện. Chứng minh rằng $OA' \cdot HD = OB' \cdot HE = OC' \cdot HF$.

Gọi $r$ là nghiệm dương của phương trình $x^2 - 2004x - 1 = 0$. Xác định trình tự $\{a_n\}$ như sau:
$$
a_0 = 1, a_{n+1} = [ra_n], n \ge 0,
$$
trong đó $[y]$ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $y$. Tìm số dư khi chia $a_{2004}$ cho $2004$.

Gọi $M$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$. Phân giác của $\angle ACD$ gặp $BA$ kéo dài tại $K$. Nếu $MA \cdot MC + MA \cdot CD = MB \cdot MD$, hãy hiển thị $\angle BKC = \angle CDB$ đó.

Cho $p, q, r$ là các số thực dương, không phải tất cả đều bằng nhau, sao cho một số hai phương trình
$$
p x^{2}+2 q x+r=0, \quad q x^{2}+2 r x+p=0, \quad r x^{2}+2 p x+q=0
$$
have a common root, say $\alpha$. Chứng minh rằng

(a) $\alpha$ là thực và âm; và

(b) phương trình thứ ba có nghiệm không thực.

Let $x_{1}$ be a given positive integer. Một chuỗi $\langle x_{n}\rangle_{n=1}^{\infty} = \langle x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots \rangle$ gồm các số nguyên dương sao cho $x_{n}$, đối với $n \geq 2$, thu được từ $x_{n-1}$ bằng cách thêm một số chữ số khác 0 của $x_{n-1}$. Chứng minh rằng

(a) dãy có số chẵn;

(b) dãy có vô số số chẵn.

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ sao cho
$$
f\left(x^{2}+y f(z)\right)=x f(x)+z f(y)
$$
cho tất cả $x, y, z$ trong $\mathbf{R}$. (Ở đây $\mathbf{R}$ biểu thị tập hợp tất cả các số thực.)

Cho $\alpha$ và $\beta$ là các số nguyên dương sao cho
$$
\frac{43}{197}\lt \frac{\alpha}{\beta}\lt \frac{17}{77}
$$

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $\beta$.

Tất cả các số có 6 chữ số có thể có, trong đó mỗi số có các chữ số xuất hiện theo thứ tự không tăng (từ trái sang phải, ví dụ: $877550$) được viết dưới dạng một chuỗi theo thứ tự tăng dần. Tìm số thứ $2005$ trong chuỗi này.

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Giả sử đường trung tuyến $AM$ cắt đường tròn nội tiếp $ABC$ tại $K$ và $L$, $K$ gần $A$ hơn $L$. Nếu $AK = KL = LM$, chứng minh rằng các cạnh của tam giác $ABC$ tỉ lệ với $5 : 10 : 13$ theo một thứ tự nào đó.

Alberto và Barbara chơi xúc xắc. Sau một thời gian, họ nhận ra rằng xúc xắc đã bị gian lận và số $1$ xuất hiện thường xuyên hơn các số khác $5$ (thay vào đó vẫn có xác suất như nhau). Sau đó, họ quyết định rằng khi $1$ xuất hiện, lượt quay đó sẽ bị hủy và họ quay lại. Nếu bạn tiếp tục tung xúc xắc cho đến khi nhận được $2$ hợp lệ, xác suất để tổng các số hợp lệ $2$ được tung là $8$ là bao nhiêu?


(A) $\frac{3}{25}$

(B) $\frac{1}{6}$

(C) $\frac{1}{5}$

(D) $\frac{6}{25}$

(E) $\frac{1}{4}$.

Edward đi nghỉ ở thành phố Altanbulat. Máy bay xuất cảnh của anh rời Milan lúc 1 giờ chiều và đến Altanbulat lúc 9 giờ sáng ngày hôm sau (giờ địa phương). Thay vào đó, chuyến bay trở về rời Altanbulat lúc 9 giờ sáng và hạ cánh lúc 3 giờ chiều cùng ngày tại Milan (một lần nữa, tất cả thời gian được chỉ định đều theo múi giờ địa phương). Giả sử rằng hai chuyến đi có thời gian thực như nhau thì sự khác biệt về thời gian giữa Ý và Altanbulat là bao nhiêu?

(A) Ít hơn ba giờ

(B) hơn ba giờ nhưng ít hơn sáu giờ

(C) hơn sáu giờ, nhưng ít hơn chín giờ

(D) hơn chín giờ
Không thể xác định được
(E) .

Xác định tất cả các cặp $(m, n)$ của các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho
$$
\frac{3^{m}+3}{2^{n}+2^{n-1}}
$$
là một số nguyên.

Cho $ABC$ là tam giác vuông trong $A$, với $AB \gt AC$; gọi $AH$ là chiều cao so với cạnh huyền. Trên đường thẳng $BC$ lấy $D$ sao cho $H$ là trung điểm của $BD$; thì gọi $E$ là chân đường vuông góc đi từ $C$ đến $AD$. Chứng minh rằng $EH = AH$.

Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 2005 (bao gồm) có số lẻ các chữ số chẵn?

Có bao nhiêu cặp thứ tự $(x, y)$ gồm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn hệ thức $x y + 5(x + y) = 2005$?