Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ và số nguyên tố $p$ sao cho $x^n-px+p^2$ viết được thành tích của hai đa thức trong $\mathbb Z[x]$, mỗi đa thức có bậc ít nhất một.
Dãy $(x_n)$ được xác định bởi
$$x_0=2,\qquad x_{n+1}=\left[\sqrt{2x_n(x_n+1)}\right]\quad(n\in\mathbb N^*).$$
Chứng minh
$$x_{2n}=2^n+[2^n\sqrt2],\qquad x_{2n+1}=2^{n+1}+[2^n\sqrt2]$$
với mọi $n\in\mathbb N^*$.
Một bảng chữ cái gồm $29$ ký tự. Một dãy ký tự gọi là từ, và $X_n$ là tập mọi từ có độ dài $n$. Xét các hàm $f:X_n\to X_2$ gán cho mỗi từ một dãy con hai ký tự bằng cách xóa $n-2$ ký tự bất kỳ, giữ nguyên thứ tự hai ký tự còn lại. Gọi $V(f)$ là tập giá trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|V(f)|$ khi (a) $n=3$; (b) $n=4$.
Có tồn tại dãy số nguyên tăng nghiêm ngặt $0=a_0\lt a_1\lt a_2\lt\cdots$ sao cho mọi số tự nhiên đều là tổng của hai số hạng không nhất thiết khác nhau, và $a_n\gt n^2/16$ với mọi số nguyên dương $n$ hay không?
Có vô hạn số nguyên dương không biểu diễn được dưới dạng $a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11}$ với $a,b,c,d,e$ là các số nguyên dương hay không? Giải thích câu trả lời.
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD$, và $E=AB\cap CD$, $F=AD\cap BC$. Chứng minh
$$\frac{2MN}{EF}=\left|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|.$$
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, và $P$ là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp, khác $A,B,C$. Gọi $E,F$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $P$ xuống các đường thẳng $BC,AB$. Chứng minh đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm đoạn $PH$.
Cho $AB$ là đường kính của đường tròn $\omega$, còn $M,C$ nằm trên $\omega$ và ở hai nửa mặt phẳng khác nhau đối với $AB$. Gọi $N,K$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $M$ đến các đường thẳng $AB,AC$. Chứng minh đường thẳng $KN$ đi qua trung điểm đoạn $CM$.
(Igor Nagel)
Một hội nghị toán học chỉ có $n$ cặp vợ chồng tham dự, với $n\ge8$. Tất cả nam giới ngồi quanh một bàn tròn có $n$ chỗ, còn tất cả nữ giới ngồi quanh một bàn tròn khác cũng có $n$ chỗ. Một người khỏe mạnh lập tức bị lây khi ít nhất hai trong ba người: hàng xóm bên trái, hàng xóm bên phải và người phối ngẫu đã nhiễm bệnh; nếu không thì người ấy vẫn khỏe mạnh. Ban đầu có $s$ người nhiễm trong $2n$ người, và cuối cùng tất cả đều bị nhiễm. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $s$.
Bên trong hình vuông $ABCD$ có $2009$ điểm, và không có ba điểm nào trong $2013$ điểm này (kể cả bốn đỉnh) thẳng hàng. Nối một số cặp điểm, kể cả các đỉnh hình vuông, bằng các đoạn để chia hình vuông thành các tam giác. Mỗi đoạn nối gọi là cạnh; một đường đi dọc theo các cạnh gọi là đường nối.
Chia $2013$ điểm thành hai tập $X,Y$, với $A,C\in X$ và $B,D\in Y$. Chứng minh hoặc có đường nối từ $A$ đến $C$ chỉ qua các đỉnh thuộc $X$, hoặc có đường nối từ $B$ đến $D$ chỉ qua các đỉnh thuộc $Y$.
Biết rằng
$$\frac a{b+c+d}+\frac b{c+d+a}+\frac c{d+a+b}+\frac d{a+b+c}=1.$$
Tính
$$\frac {a^2}{b+c+d}+\frac {b^2}{c+d+a}+\frac {c^2}{d+a+b}+\frac {d^2}{a+b+c}.$$
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh có duy nhất một bộ gồm $n+2$ số thực $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1})$ sao cho $\alpha_0=\alpha_{n+1}=0$, $|\alpha_i|\le\pi/6$ và
$$1+\sin\alpha_{i+1}+3\sin\alpha_{i-1}=10\sin\alpha_i-2\sin3\alpha_i$$
với mọi $i=1,2,\ldots,n$.
Cho các số nguyên $n\ge k\ge3$. Có $n+1$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Tô mỗi đoạn thẳng nối hai điểm bằng một trong $k$ màu. Một góc được gọi là hai màu nếu đỉnh là một điểm đã cho và hai cạnh là hai đoạn khác màu. Chứng minh có cách tô tạo ra số góc hai màu lớn hơn
$$n\left\lfloor n/k\right\rfloor^2\binom{k}{2}.$$
Ở đây $\lfloor t\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $t$.
Cho đường tròn cố định $(O,R)$ và điểm cố định $A$ trên đó. Hai điểm $B,C$ thay đổi trên đường tròn sao cho $\angle BAC=\alpha$ không đổi. Trên các tia $BA,CA$, lần lượt lấy $E,F$ sao cho $BE=CF=BC$.
a) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(AEF)$. Chứng minh
$$r\ge R\frac{\sin((\pi-3\alpha)/4)}{\sin((\pi+\alpha)/4)}.$$
b) Gọi $P$ là trung điểm cung $AC$ không chứa $B$, và $Q$ là trung điểm cung $AB$ không chứa $C$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $EF$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh giao điểm $PM\cap QN$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Cho số thực $m$, $f(x)=x^2-mx+m-1$ và $g(x)=x^2-2x-m$. Tìm các giá trị $m$ để giá trị nhỏ nhất của $f$ và $g$ bằng nhau. Với giá trị $m$ lớn nhất tìm được, giải bất phương trình $2f(x)\ge g(x-1)$.