Trên bảng viết một tập hữu hạn các số nguyên dương đôi một khác nhau. Một bước gồm chọn hai số rồi viết bội chung nhỏ nhất của chúng nếu số đó chưa có trên bảng. Tập được gọi là đóng nếu không còn bước nào có thể thực hiện; chẳng hạn $\{2,3,4,6\}$ trở thành đóng sau khi thêm $12$. Xác định số phần tử lớn nhất của tập đóng nếu tập ban đầu có $10$ số.
Một tập S các số nguyên dương được gọi là canalero nếu với ba phần tử phân biệt bất kỳ $a,b,c\in S$, a là ước của bc, b là ước của ca và c là ước của ab.
a. Chứng minh với mọi tập hữu hạn số nguyên dương $\{c_1,\ldots,c_n\}$, tồn tại vô số số nguyên dương k sao cho $\{kc_1,\ldots,kc_n\}$ là canalero.
b. Chứng minh với mọi số nguyên $n\ge3$, tồn tại tập canalero có đúng n phần tử và không có số nguyên nào lớn hơn 1 là ước chung của tất cả phần tử.
Năm mươi số tự nhiên đầu tiên đi qua hành lang có 50 cửa đánh số từ 1 đến 50, ban đầu đều khóa. Số 1 đi trước, rồi số 2, số 3, cứ thế đến số 50 đi cuối cùng. Số n mang chìa khóa các cửa mang số là bội của n. Ví dụ số 1 mang tất cả chìa khóa, số 2 chỉ mang chìa khóa cửa số chẵn, số 25 chỉ mang chìa khóa cửa 25 và 50. Mỗi số dùng chìa khóa của mình để khóa các cửa đang mở và mở khóa các cửa đang đóng.
a) Số 15 sẽ mở khóa những cửa nào?
b) Chứng minh sau khi số 50 đi qua, cửa số 10 sẽ mở khóa còn cửa số 9 sẽ bị khóa.
Cho tam giác $\triangle ABC$ với $AB\lt BC$, đường tròn ngoại tiếp $\mathcal C$, trung điểm $K$ của cung nhỏ $\widehat{CA}$ trên $\mathcal C$ và điểm $T$ trên $\mathcal C$ sao cho $KT$ vuông góc với $BC$. Gọi $A',B'$ là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $BC,AC$. Chứng minh các đường thẳng $AT,BK,A'B'$ đồng quy.
Cho tam giác $ABC$ và các điểm $M,N$ lần lượt trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $\angle ABC\equiv\angle ANM$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $B$; $P,Q$ lần lượt là trung điểm các đoạn $MN,CD$. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng khi và chỉ khi $AC=AB\sqrt2$.
Petru Braica
Cho ma trận suy biến $A$ cấp $n$ với các phần tử phức đều có môđun bằng $1$.
a. Với $n=3$, chứng minh có hai hàng hoặc hai cột của $A$ tỉ lệ.
b. Xác định, kèm chứng minh, khẳng định trên có đúng với $n=4$ hay không.
Một quân xe bắt đầu đi trên bàn cờ vô hạn, luân phiên các nước ngang và dọc. Nước thứ nhất dài một ô, nước thứ hai dài hai ô, nước thứ ba dài ba ô, v.v.
a) Quân xe có thể về vị trí xuất phát sau đúng $2013$ nước không?
b) Tìm mọi $n$ sao cho quân xe có thể trở về vị trí xuất phát sau đúng $n$ nước.
a) Cho hàm khả vi, lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ thỏa $f(x)\le x$ với $x\ge0$. Khi đó $f'(x)\le1$ với mọi $x\ge0$.
b) Tìm mọi hàm khả vi, lồi $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ sao cho $f(0)=0$ và $f'(x)\cdot f(f(x))=x$ với mọi $x\ge0$.
Cho P nằm trong tam giác ABC. Kéo dài AP,BP,CP cắt BC,AC,AB lần lượt tại D,E,F. Nếu các tam giác APF,BPD,CPE có diện tích bằng nhau, chứng minh P là trọng tâm tam giác ABC.
Cho số nguyên dương n. Các số $1,2,3,\ldots,2n$ được gán ngẫu nhiên cho 2n điểm phân biệt trên đường tròn. Mỗi dây nối hai điểm được gán giá trị bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số ở hai đầu.
Chứng minh có thể chọn n dây đôi một không cắt nhau sao cho tổng giá trị của chúng bằng n².
Lăng trụ đứng $ABCA'B'C'$ có $AB=AC=BC=a$, và có duy nhất điểm $M\in(BB')$ sao cho $AM\perp MC'$. Tìm số đo góc giữa đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(ACC')$.
Mircea Fianu, Cristian Mangra
