MathNet 2013

Với $0\le k\le9$, gọi $a_k$ là hệ số của $x^k$ trong đa thức $(x+1)^3(x+2)^3(x+3)^3$. Tìm $a_2+a_4+a_6+a_8$.

Giả sử bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên dương $x,y,z$ là $2100$. Tổng $x+y+z$ có thể có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu bộ 25 số nguyên không âm $(x_1,x_2,\dots,x_{25})$ thỏa
$$x_1^2+x_2^2+\dots+x_{25}^2=2+x_1x_2+x_2x_3+\dots+x_{24}x_{25}?$$

Trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB\ne AC$, $D$ là giao điểm của phân giác góc $A$ với cạnh $BC$; $E,F$ lần lượt là chân đường cao từ $B,C$. Hai đường tròn ngoại tiếp $DBF,DCE$ cắt nhau lần thứ hai tại $M$. Chứng minh $ME=MF$.

Cho số nguyên dương $n$. Tìm tất cả số nguyên dương $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n$ thỏa mãn
$$\frac1{x_1}+\frac2{x_2}+\dots+\frac n{x_n}=p.$$

Cho $a,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, và các dãy số nguyên $a_n,b_n$ xác định bởi $(a+b\sqrt2)^{2n}=a_n+b_n\sqrt2$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n\le p$ thỏa $b_n\equiv0\pmod p$.

Cho $AB$ là đường kính đường tròn $\omega$ tâm $O$, và $OC$ là bán kính vuông góc với $AB$. Lấy $M$ trên đoạn $OC$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của $AM$ với $\omega$, và $P$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $\omega$ tại $N,B$. Chứng minh $M,O,P,N$ cùng thuộc một đường tròn.

Cho $I$ là tâm nội tiếp và $AB$ là cạnh ngắn nhất của tam giác $ABC$. Đường tròn tâm $I$ qua $C$ cắt tia $AB$ tại $P$, tia $BA$ tại $Q$. Gọi $D$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $A$ với cạnh $BC$, và $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $D$. Chứng minh $PE\perp CQ$.

Cho số nguyên dương $n$. Một con bọ chét ở trên trục số thực thực hiện $n$ bước nhảy có độ dài $1,2,3,\ldots,n$. Nó có thể chọn thứ tự độ dài và chọn nhảy sang phải hay trái ở mỗi bước.
a. Chứng minh với $n=2012$, nó có thể kết thúc tại điểm xuất phát.
b. Chứng minh với $n=2013$, điều đó không thể xảy ra.
c. Tổng quát, với những $n$ nào nó có thể trở về điểm xuất phát?

Chứng minh với mỗi $n\in\mathbb N$, tồn tại các số tự nhiên $a_1\lt a_2\lt \dots\lt a_n$ sao cho $\phi(a_1)\gt \phi(a_2)\gt \dots\gt \phi(a_n)$.

Cho hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ tiếp xúc ngoài tại $R$. Đường thẳng $l_1$ tiếp xúc $\Gamma_2$ tại $P$ và đi qua tâm $O_1$ của $\Gamma_1$. Tương tự, đường thẳng $l_2$ tiếp xúc $\Gamma_2$ tại $Q$ và đi qua tâm $O_2$ của $\Gamma_2$. Giả sử $l_1,l_2$ không song song và cắt nhau tại $K$. Nếu $KP=KQ$, chứng minh tam giác $PQR$ đều.

Tìm mọi số nguyên dương $n$ để $1^3+2^3+\cdots+16^3+17^n$ là số chính phương.

Cho hai bảng chữ nhật $20\times13$, mỗi bảng gồm $260$ ô vuông nhỏ. Điền các số $1,2,\ldots,260$ vào mỗi bảng như sau:
- Ở bảng thứ nhất, điền các số $1,2,\ldots,13$ vào hàng trên cùng từ trái sang phải. Tiếp tục điền $14,15,\ldots,26$ vào hàng thứ hai từ trái sang phải. Làm tiếp cho tới khi điền $248,249,\ldots,260$ từ trái sang phải vào hàng dưới cùng.
- Ở bảng thứ hai, điền $1,2,\ldots,20$ vào cột ngoài cùng bên phải từ trên xuống dưới. Tiếp tục điền $21,22,\ldots,40$ vào cột thứ hai từ phải sang, từ trên xuống dưới. Làm tiếp cho tới khi điền $241,242,\ldots,260$ vào cột ngoài cùng bên trái từ trên xuống dưới.
Liệt kê tất cả số nguyên dương được điền vào ô có cùng vị trí trong hai bảng theo hai cách trên.

Tìm tất cả bộ ba có thứ tự $(x,y,z)$ gồm các số nguyên dương thỏa
$$\frac1{x^2}+\frac{y}{xz}+\frac1{z^2}=\frac1{2013}.$$

Trong tam giác $ABC$, gọi $B_1,C_1$ là các tâm bàng tiếp đối diện $B,C$. Đường thẳng $B_1C_1$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $D\ne A$. Gọi $E$ là giao của đường vuông góc từ $B_1$ xuống $CA$ và đường vuông góc từ $C_1$ xuống $AB$. Gọi $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp $ADE$. Tiếp tuyến của $\omega$ tại $D$ cắt $AE$ ở $F$. Đường vuông góc từ $D$ xuống $AE$ có chân $G$ và cắt $\omega$ lần nữa tại $H\ne D$. Đường tròn ngoại tiếp $HGF$ cắt $\omega$ lần nữa tại $I\ne H$. Gọi $J$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $AH$. Chứng minh $AI$ đi qua trung điểm $DJ$.

Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ với $a\ge b\ge c\ge d$. Chứng minh phương trình $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$ không có nghiệm nguyên.

Có tồn tại đa thức ba biến $P(x,y,z)$ với hệ số nguyên có tính chất sau hay không: số nguyên dương $n$ *không* là số chính phương khi và chỉ khi tồn tại bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ sao cho $P(x,y,z)=n$?
(Bài toán do Gerhard Woeginger đề xuất.)

Cho hình lồi $S$ trong mặt phẳng có diện tích $10$. Xét một dây dài $3$ trong $S$ và hai điểm $A,B$ chia dây thành ba phần bằng nhau. Với điểm thay đổi $X\in S\setminus\{A,B\}$, gọi $A',B'$ là giao điểm của các tia $AX,BX$ với biên $S$. Gọi $S'$ là tập các điểm $X$ sao cho $AA'\gt \tfrac13BB'$. Chứng minh diện tích $S'$ ít nhất bằng $6$.

Cho số nguyên dương $n$. Các điểm $P_1,P_2,\dots,P_{4n}$ trong mặt phẳng không có ba điểm nào thẳng hàng. Với mỗi $i=1,2,\dots,4n$, khi quay tia $P_iP_{i-1}$ gốc $P_i$ quanh $P_i$ một góc $90^\circ$ theo chiều kim đồng hồ, ta được tia $P_iP_{i+1}$. Tìm số lớn nhất các cặp $(i,j)$ mà hai đoạn $P_iP_{i+1}$ và $P_jP_{j+1}$ cắt nhau tại điểm không phải đầu mút của chúng. Quy ước $P_0=P_{4n}$, $P_{4n+1}=P_1$ và $1\le i\lt j\le4n$.

Hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$ tiếp xúc ngoài tại $M$ và lần lượt tiếp xúc trong với đường tròn $\omega_3$ tại $K,L$. Gọi $A,B$ là hai giao điểm của tiếp tuyến chung tại $M$ với $\omega_3$. Chứng minh nếu $\angle KAB=\angle LAB$ thì $AB$ là đường kính $\omega_3$.