Câu hỏi 12
Tam giác $\triangle ABC$ nằm trong mặt phẳng $\mathcal{P}$ với $AB = 6,$ $AC = 4,$ và $\angle BAC = 90^\circ.$ Giả sử $D$ là hình phản chiếu qua $\overline{BC}$ của tâm của $\triangle ABC.$ Bốn hình cầu, tất cả đều ở cùng một phía $\mathcal{P},$ có bán kính $1,$ $2,$ $3,$ và $r$ và tiếp tuyến với $\mathcal{P}$ tại các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D,$ tương ứng. Bốn mặt cầu cũng tiếp tuyến với mặt phẳng thứ hai $\mathcal{T}$ và tất cả đều nằm trên cùng một phía của $\mathcal{T}.$ Giá trị của $r$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$