Trong số tất cả các nạn nhân bị zombie cắn, $10\%$ được kê đơn loại thuốc thử nghiệm Undetenin để điều trị. Nhìn chung, $4\%$ dân số loài người bị phản ứng có hại với Undetenin. Trong số tất cả các bệnh nhân đang được điều trị bằng Undetenin, $2\%$ bị phản ứng có hại với thuốc. Hỏi xác suất để một bệnh nhân bị dị ứng với Undetenin được kê đơn thuốc này là bao nhiêu?
Đáp số: $5\%$
Trong học kì tới, 100 sinh viên ngành toán có thể học tối đa hai trong năm môn tự chọn toán. Giả sử có 22 người sẽ không học môn tự chọn toán nào trong học kì tới. Ngoài ra,
- 7 người sẽ học Lí thuyết số đại số và Lí thuyết Galois
- 12 người sẽ học Lí thuyết Galois và Hình học hyperbolic
- 3 người sẽ học Hình học hyperbolic và Mật mã học
- 15 người sẽ học Mật mã học và Tôpô
- 8 người sẽ học Tôpô và Lí thuyết số đại số.
Tất cả những người còn lại sẽ chỉ học đúng một môn tự chọn toán. Hơn nữa, có 16 người sẽ học Lí thuyết số đại số hoặc Mật mã học, nhưng không học cả hai. Hỏi có bao nhiêu sinh viên ngành toán sẽ học đúng một trong các môn Lí thuyết Galois, Hình học hyperbolic hoặc Tôpô?
Một cấp số nhân có ít nhất ba số hạng và công bội hữu tỉ có số hạng đầu là $32^{16}$ và số hạng cuối là $625^{30}$. Nếu tích của tất cả các giá trị có thể có của số hạng thứ hai của cấp số nhân này bằng $16^{x} \cdot 625^{y}$, trong đó $x$ và $y$ là các số nguyên, thì $x$ và $y$ bằng bao nhiêu?
Chứng minh rằng với mọi số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$, $n \in \mathbb{N}$, tồn tại số thực $x$ sao cho các số $x + a_1, x + a_2, \dots, x + a_n$ đều là số vô tỉ.
Trên một hàng có 51 số nguyên dương với tổng bằng 100. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$, $1 \le k \le 99$, ta có thể tìm được hoặc một dãy các số liên tiếp trên hàng có tổng bằng $k$, hoặc một dãy các số liên tiếp có tổng bằng $100-k$.
Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ và gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng nếu $\angle AMB = \angle AMD$ thì $\angle ANB = \angle BNC$.
Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện:
(i) $f(f(x^2) + y + f(y)) = x^2 + 2f(y)$;
(ii) $x \le y$ kéo theo $f(x) \le f(y)$;
với mọi số thực $x$ và $y$.
Cho tam giác nhọn $APD$ và hai điểm $B \in (AP)$, $C \in (PD)$. Hai đường chéo của tứ giác $ABCD$ cắt nhau tại điểm $Q$. Gọi $H_1$ và $H_2$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $APD$ và $BPC$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ và $CDQ$ cắt nhau lần thứ hai tại điểm $X$ ($X \neq Q$) và các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADQ$ và $BCQ$ cắt nhau lần thứ hai tại điểm $Y$ ($Y \neq Q$).
Chứng minh rằng nếu đường thẳng $H_1H_2$ đi qua điểm $X$ thì nó cũng đi qua điểm $Y$.
Cho tam giác nhọn $ABC$, gọi $D, E, F$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A, B, C$, và $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$. Các đường tròn $BDP$ và $CDN$ cắt nhau lần thứ hai tại $X$, các đường tròn $CEM$ và $AEP$ cắt nhau lần thứ hai tại $Y$, và các đường tròn $AFN$ và $BFM$ cắt nhau lần thứ hai tại $Z$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy.
Cho $f_0$, $f_1$, $f_2$ và $f_3$ là các đa thức trong $\mathbb{R}[X]$ sao cho $f_k(1) = f_{k+1}(0)$, $k = 0, 1, 2, 3$ (các chỉ số được lấy theo modulo $4$). Chứng minh rằng tồn tại đa thức $f$ trong $\mathbb{R}[X, Y]$ sao cho $f(X, 0) = f_0(X)$, $f(1, Y) = f_1(Y)$, $f(1 - X, 1) = f_2(X)$, và $f(0, 1 - Y) = f_3(Y)$.
Có thể biểu diễn mọi số nguyên dương $n$ đồng dư với $9$ modulo $25$ dưới dạng $n = \frac{a(a+1)}{2} + \frac{b(b+1)}{2} + \frac{c(c+1)}{2}$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số nguyên không âm không cùng tính chẵn lẻ, hay không?
Với số nguyên dương $k$, một chu trình độ dài $k$ trong một đồ thị là một dãy $v_1, e_1, v_2, e_2, \dots, v_k, e_k$, trong đó các $v_i$ là các đỉnh (không nhất thiết phân biệt), các $e_i$ là các cạnh (không nhất thiết phân biệt), và mỗi $e_i$ nối $v_i$ với $v_{i+1}$ (các chỉ số lấy theo modulo $k$); chu trình đi qua cạnh $e$ nếu $e = e_i$ với một chỉ số $i$ nào đó. Chứng minh rằng một đồ thị liên thông với tập đỉnh $V$ và tập cạnh $E$ có một chu trình độ dài không quá $|V| + |E| - 1$ đi qua mọi cạnh của đồ thị.
Xác định giá trị lớn nhất mà biểu thức $\sum_{1 \le i \lt j \le 4} (x_i + x_j) \sqrt{x_i x_j}$ có thể đạt được, khi $x_1, x_2, x_3, x_4$ chạy trên các số thực không âm có tổng bằng $1$. Xác định cả các giá trị $x_i$ tại đó giá trị lớn nhất đạt được.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, và đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $ABC$ lần thứ hai tại $E$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, và $N$ là điểm chính giữa cung $BAC$. Đường thẳng $EN$ cắt cung tròn $BIC$ tại $P$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AD$ và $MP$ song song.
Cho số nguyên $n \ge 2$, tô đỏ đúng $n$ ô của một tờ giấy kẻ ô vuông vô hạn. Một bảng ô chữ nhật được gọi là *đặc biệt* nếu nó có ít nhất hai ô góc đối diện màu đỏ; các ô đỏ đơn lẻ và các bảng 1 hàng hoặc 1 cột có hai ô đầu mút đều đỏ cũng là đặc biệt. Với một cấu hình gồm đúng $n$ ô đỏ, gọi $N$ là số ô đỏ lớn nhất mà một bảng ô chữ nhật đặc biệt có thể chứa. Xác định giá trị nhỏ nhất mà $N$ có thể nhận trên tất cả các cấu hình gồm đúng $n$ ô đỏ.
Cho tam giác nhọn $ABC$, và gọi $D, E, F$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A, B, C$. Các đường thẳng $BC$ và $EF$ cắt nhau tại $P$, và đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt các đường thẳng $AC$ và $AB$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Chứng minh rằng đường tròn $PQR$ đi qua trung điểm cạnh $BC$.
Một số nguyên dương $m$ được gọi là hoàn hảo nếu tổng tất cả các ước dương của nó, kể cả $1$ và $m$, bằng $2m$. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^n + 1$ là số hoàn hảo.
Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương, và $A_1, \dots, A_m$ là các tập gồm $n$ số nguyên dương, đôi một rời nhau, sao cho với mọi $i$, không phần tử nào của $A_i$ chia hết cho một phần tử của $A_{i+1}$ (các chỉ số lấy theo modulo $m$). Xác định số lớn nhất các cặp có thứ tự $(a, b)$, trong đó $a$ và $b$ là phần tử của hai tập $A_i$ khác nhau, và $b$ chia hết cho $a$.