Ba số nguyên $2000$, $19$ và $n$ được viết trên bảng. Ana và Beto chơi trò chơi sau:
Ana đi trước, sau đó hai người lần lượt chơi. Mỗi nước đi gồm việc xóa một trong các số trên bảng và thay nó bằng hiệu của hai số còn lại (số lớn trừ số nhỏ). Chỉ những nước đi làm thay đổi một trong các số được viết mới được phép. Người chơi nào đến lượt mình mà không thể đi được thì thua.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của $n$, trò chơi luôn có người thắng, và xác định ai thắng nếu các số trên bảng là $2000$, $19$ và $2019$.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Có $n$ viên bi được đánh số từ 1 đến $n$ và ba chiếc hộp có màu khác nhau.
Tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho với mọi cách đặt $n$ viên bi vào ba hộp, luôn có trong cùng một hộp hai viên bi mà hiệu của các số ghi trên chúng (số lớn trừ số nhỏ) bằng bình phương của một số nguyên.
Trong tam giác $ABC$, lấy $D$ và $E$ lần lượt trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $BD = CE$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $DE$.
Chứng minh rằng đường phân giác của góc $BAC$ song song với đường thẳng $MN$.
Bruno chọn một số nguyên dương $X$. Sau đó Flor chọn bốn số nguyên $a, b, c, d$ và tính $N = (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d)$, tích của sáu hiệu giữa bốn số đó. Xác định giá trị lớn nhất của $X$ mà với nó Bruno chắc chắn rằng $N$ sẽ là bội của $X$.
Trên một bảng $9 \times 9$, cần tô màu đỏ một số ô, ít nhất là một ô. Với mỗi cách tô, gọi $P$ là số ô, dù được tô hay không, có một số chẵn ô kề màu đỏ. (Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh.) Hãy đưa ra một cách tô màu bảng có giá trị $P$ nhỏ nhất có thể và chứng minh rằng không thể có giá trị nhỏ hơn.
Gọi $A, B, C$ là màu của ba hộp, và gán cho mỗi số màu của hộp chứa nó. Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho có thể tô các số $1, 2, 3, \ldots, n$ bằng các màu $A, B, C$ để không có hai số cùng màu nào hơn kém nhau một số là bình phương của một số nguyên.
Ta nói ba số nguyên dương $a$, $b$, $c$ tạo thành một *gia đình* nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
$$
\bullet\ a+b+c=900;
$$
• tồn tại một số nguyên $n$, $n \ge 2$, sao cho $\frac{a}{n-1} = \frac{b}{n} = \frac{c}{n+1}$.
Cho một bảng $7 \times 7$. Julián tô đen 29 ô. Sau đó Pilar phải đặt lên bảng một miếng hình chữ L (một "khuỷu") che đúng ba ô, giống như các ô trong hình (có thể xoay theo bất kì hướng nào). Nếu cả ba ô bị khuỷu che đều màu đen thì Pilar thắng.
Xác định xem Julián có thể tô màu sao cho Pilar không thể thắng được hay không.
Cho $\Gamma$ là đường tròn tâm $S$, bán kính $r$, và $A$ là một điểm nằm ngoài đường tròn. Gọi $BC$ là một đường kính của $\Gamma$ sao cho $B$ không thuộc đường thẳng $AS$, và xét điểm $O$ là giao điểm các đường trung trực của tam giác $ABC$, tức là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Xác định tất cả các vị trí có thể của điểm $O$ khi $B$ thay đổi trên đường tròn $\Gamma$.
Ta gọi là *tương tự* các số nguyên dương có đúng cùng các chữ số. Ví dụ, $1241$, $2114$, $4211$ là các số tương tự, nhưng $1424$ không tương tự với các số trên.
Hãy xét xem có tồn tại ba số tương tự, mỗi số có $300$ chữ số, với mọi chữ số đều khác $0$, sao cho tổng của hai số trong chúng bằng số thứ ba hay không. Nếu câu trả lời là có, hãy đưa ra một ví dụ, còn nếu là không, hãy giải thích tại sao.
Trong một câu lạc bộ, một số cặp thành viên là bạn của nhau. Cho $k \ge 3$, ta nói một câu lạc bộ là *k-thân thiện* nếu với mọi nhóm $k$ thành viên, các thành viên này có thể ngồi quanh một bàn tròn sao cho mọi cặp ngồi cạnh nhau đều là bạn.
a) Chứng minh rằng nếu một câu lạc bộ là 6-thân thiện thì nó là 7-thân thiện.
b) Có đúng là nếu một câu lạc bộ là 9-thân thiện thì nó là 10-thân thiện hay không?
Cho $n$ là một số tự nhiên. Ta định nghĩa $f(n)$ là số cách viết $n$ thành tổng các lũy thừa của 2, trong đó thứ tự xuất hiện của các số hạng được tính đến. Ví dụ, $f(4) = 6$ vì $4$ có thể viết thành $4$; $2+2$; $2+1+1$; $1+2+1$; $1+1+2$; $1+1+1+1$.
Tìm số $n$ nhỏ nhất lớn hơn $2019$ sao cho $f(n)$ là số lẻ.
Một tập hợp gồm các số nguyên dương phân biệt được gọi là *kì dị* nếu với mỗi phần tử của nó, sau khi gạch bỏ phần tử đó, các phần tử còn lại có thể chia thành hai tập không có phần tử chung sao cho tổng các phần tử của hai nhóm bằng nhau. Tìm số nguyên dương $n \gt 1$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập kì dị $A$ có $n$ phần tử.
Cho $n \ge 1$ là một số nguyên. Có hai dãy số, mỗi dãy gồm $n$ số thực dương $a_1, a_2, ..., a_n$ và $b_1, b_2, ..., b_n$, sao cho $a_1 + a_2 + ... + a_n = 1$ và $b_1 + b_2 + ... + b_n = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng
$$
\frac{a_1^2}{a_1+b_1} + \frac{a_2^2}{a_2+b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{a_n+b_n} .
$$
Trong tam giác $ABC$ có $A\hat{C}B = 2 \cdot A\hat{B}C$. Ngoài ra, $P$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $AP = AC$ và $PB = PC$. Chứng minh rằng $B\hat{A}C = 3 \cdot B\hat{A}P$.
Cho một tập hợp $M$ gồm 2019 số thực sao cho với mọi cặp $a, b$ các số thuộc $M$, số $a^2 + b\sqrt{2}$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với mọi $a$ thuộc $M$, số $a\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.
Cho một cấp số cộng gồm 7 số hạng, trong đó tất cả các số hạng là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của số hạng cuối cùng của một cấp số cộng như vậy.
LƯU Ý: Trong một cấp số cộng có công sai $d$, mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước cộng với $d$.
Các số tự nhiên từ $1$ đến $300$ (kể cả hai đầu) được đặt quanh một đường tròn. Ta nói một cách sắp xếp như vậy là *xen kẽ* nếu mỗi số hoặc nhỏ hơn cả hai số kề nó, hoặc lớn hơn cả hai số kề nó. Một cặp số kề nhau được gọi là *cặp tốt* nếu sau khi bỏ cặp đó khỏi đường tròn, các số còn lại tạo thành một cách sắp xếp xen kẽ.
Xác định số cặp tốt nhỏ nhất có thể có trong một cách sắp xếp xen kẽ các số từ $1$ đến $300$.
Gọi $\mathbb{Z}^{+}$ là tập hợp các số nguyên dương. Xác định tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ sao cho $a^{2} + f(a) f(b)$ chia hết cho $f(a) + b$ với mọi số nguyên dương $a$ và $b$.
