AIME II năm 2010

Đặt $N$ là số nguyên lớn nhất bội số của $36$ có tất cả các chữ số là số chẵn và không có hai chữ số nào giống nhau. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Một điểm $P$ được chọn ngẫu nhiên bên trong hình vuông đơn vị $S.$ Đặt $d(P)$ biểu thị khoảng cách từ $P$ đến cạnh gần nhất của $S.$ xác suất mà $\frac{1}{5} \le d(P) \le \frac{1}{3}$ bằng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Giả sử $K$ là tích của tất cả các thừa số $(b - a)$ (không nhất thiết phải phân biệt) trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên thỏa mãn $1 \le a \lt b \le 20.$ Tìm số nguyên dương lớn nhất $n$ sao cho $2^n$ chia hết $K.$

Dave đến một sân bay có mười hai cổng được sắp xếp thành một đường thẳng với chính xác $100$ feet giữa các cổng liền kề. Cổng khởi hành của anh được chỉ định ngẫu nhiên. Sau khi đợi ở cổng đó, Dave được thông báo cổng khởi hành đã được đổi sang cổng khác một cách ngẫu nhiên. Giả sử xác suất mà Dave đi $400$ feet trở xuống đến cổng mới là một phân số $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Các số dương $x,$ $y,$ và $z$ thỏa mãn $xyz = 10^{81}$ và $(\log_{10} x)(\log_{10} yz)$ $+ (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 468.$ Tìm $\small \sqrt{(\log_{10} x)^2 + (\log_{10} y)^2 + (\log_{10} z)^2}.$

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ có tính chất là đa thức $x^4 - nx + 63$ có thể được viết dưới dạng tích của hai đa thức không cố định có hệ số nguyên.

Giả sử $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số thực. Tồn tại một số phức $w$ sao cho ba nghiệm của $P(z)$ là $w + 3i,$ $w + 9i,$ và $2w - 4,$ trong đó $i^2 = -1.$ Tìm $|a + b + c|.$

Đặt $N$ là số cặp có thứ tự của các tập hợp khác trống $\mathcal{A}$ và $\mathcal{B}$ có các thuộc tính sau:

• $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ $\small = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\},$

• $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = \emptyset,$

• số phần tử của $\mathcal{A}$ không phải là phần tử của $\mathcal{A},$

• số phần tử của $\mathcal{B}$ không phải là phần tử của $\mathcal{B}.$

Tìm $N.$

Đặt $ABCDEF$ là một hình lục giác đều. Đặt $G,$ $H,$ $I,$ $J,$ $K,$ và $L$ là trung điểm của các cạnh $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ $EF,$ và $AF,$ tương ứng. Các đoạn $AH,$ $BI,$ $CJ,$ $DK,$ $EL,$ và $FG$ bao quanh một hình lục giác đều nhỏ hơn. Đặt tỷ lệ diện tích của hình lục giác nhỏ hơn với diện tích của $ABCDEF$ được biểu thị dưới dạng phân số $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Tìm số đa thức bậc hai $f(x)$ có hệ số nguyên và số nguyên 0 mà $f(0) = 2010.$

Xác định *T-grid* là ma trận $3 \times 3$ thỏa mãn hai thuộc tính sau:

$(1)$ Chính xác năm mục là của $1$ và bốn mục còn lại là của $0$.

$(2)$ Trong số tám hàng, cột và đường chéo dài (các đường chéo dài là $\{a_{13}, a_{22}, a_{31}\}$ và $\{a_{11}, a_{22}, a_{33}\}$), không quá một trong tám hàng có cả ba mục bằng nhau.

Tìm số *lưới chữ T* riêng biệt.

Hai tam giác cân có các cạnh nguyên không bằng nhau có cùng chu vi và cùng diện tích. Tỉ số độ dài hai đáy của hai tam giác là $8 : 7.$ Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của chung chu vi của chúng.

Các lá bài $52$ trong bộ bài được đánh số $1,$ $2,$ $\ldots,$ $52.$ Alex, Blair, Corey và Dylan, mỗi người chọn một lá bài từ bộ bài mà không cần thay thế và mỗi lá bài có khả năng được chọn như nhau. Hai người có thẻ đánh số thấp hơn sẽ tạo thành một đội và hai người có thẻ đánh số cao hơn sẽ tạo thành một đội khác. Giả sử $p(a)$ là xác suất mà Alex và Dylan ở cùng một đội, với điều kiện Alex chọn một trong các quân bài $a$ và $a + 9,$ và Dylan chọn quân bài còn lại trong hai quân bài này. Giá trị tối thiểu của $p(a)$ mà $p(a) \ge \frac{1}{2}$ có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Trong tam giác vuông $ABC$ với góc vuông tại $C,$ $\angle BAC \lt 45^\circ$ và $AB = 4.$ Điểm $P$ trên $\overline{AB}$ có tính chất là $\angle APC = 2\angle ACP$ và $CP = 1.$ Tỷ lệ $\frac{AP}{BP}$ có thể được biểu diễn dưới dạng $p + q\sqrt{r},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là số nguyên dương và $r$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $p + q + r.$

Trong tam giác $ABC,$ $AC = 13,$ $BC = 14,$ và $AB = 15.$ Điểm $M$ và $D$ nằm trên $\overline{AC}$ với $AM = MC$ và $\angle ABD = \angle DBC.$ Điểm $N$ và $E$ nằm trên $\overline{AB}$ với $AN = NB$ và $\angle ACE = \angle ECB.$ Đặt $P$ là giao điểm còn lại của các đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$ và $\triangle ADE.$ Ray $AP$ đáp ứng $\overline{BC}$ tại $Q.$ Tỷ lệ $\frac{BQ}{CQ}$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m - n.$