SMO 2009 - Open - Vòng 1

Biểu thức $1000\sin10^\circ\cos20^\circ\cos30^\circ\cos40^\circ$ rút gọn được thành $a\sin b^\circ$, với $a,b$ là các số nguyên dương và $0\lt b\lt 90$. Tính $100a+b$.

Cho sáu điểm $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$ nằm trên một đường tròn theo thứ tự đó, với độ dài các cung $\widehat{A_1A_2}=\widehat{A_2A_3}$, $\widehat{A_3A_4}=\widehat{A_4A_5}$, $\widehat{A_5A_6}=\widehat{A_6A_1}$. Mỗi dấu cung chỉ độ dài cung liên tiếp tương ứng. Biết $\angle A_1A_3A_5=72^\circ$, tính $\angle A_4A_6A_2$ theo độ.

Cho $P_1,P_2,\ldots,P_{41}$ là $41$ điểm phân biệt trên đoạn $BC$ của tam giác $ABC$, với $AB=AC=7$. Tính $\displaystyle\sum_{i=1}^{41}(AP_i^2+P_iB\cdot P_iC)$.

Tìm số thực $x$ lớn nhất thỏa $|x^2-11x+24|+|2x^2+6x-56|=|x^2+17x-80|$.

Cho đa thức $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$ với các hệ số hằng và $a_5=7$. Khi chia lần lượt cho $x-2004,x-2005,x-2006,x-2007,x-2008$, đa thức có các số dư $72,-30,32,-24,24$. Tính $f(2009)$.

Tính $\displaystyle\frac{\sin80^\circ}{\sin20^\circ}-\frac{\sqrt3}{2\sin80^\circ}$.

Tìm số số nguyên dương có tám chữ số sao cho sau khi xóa một chữ số bất kỳ, số còn lại có bảy chữ số và chia hết cho $7$.

Biết $\sqrt a-\sqrt b=20$, với $a,b$ thực. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $a-5b$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=7$, $BC=8$, $AC=9$. Một đường tròn duy nhất tiếp xúc với cạnh $AC$ và các phần kéo dài của $BA$, $BC$. Gọi $D$ là tâm đường tròn. Tính $BD^2$.

Nếu $x=\dfrac12\left(\sqrt[3]{2009}-\dfrac1{\sqrt[3]{2009}}\right)$, tính $\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^3$.

Cho $S=\{1,2,3,\ldots,30\}$. Tìm số bộ có thứ tự $(x,y,z,w)$ với $x,y,z,w\in S$ sao cho $x\lt w$, $y\lt z\lt w$.

Gọi $f(n)$ là số chữ số $0$ trong biểu diễn thập phân của số nguyên dương $n$. Ví dụ $f(10001123)=3$, $f(1234567)=0$. Tính $f(1)+f(2)+\cdots+f(99999)$.

Cho $k$ là số nguyên dương không vượt quá $99$ sao cho không tồn tại các số tự nhiên $x,y$ thỏa $x^2-ky^2=8$. Tìm hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể của $k$.

Cho $S=\{1,2,3,4,\ldots,16\}$. Mỗi tập con $\{6\}$, $\{1,2,3\}$, $\{5,7,9,10,11,12\}$, $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ có tổng chia hết cho $3$. Tìm tổng số tập con khác rỗng $A\subseteq S$ có tổng các phần tử chia hết cho $3$.

Hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $f(x)f(y)=f(2xy+3)+3f(x+y)-3f(x)+6x$ với mọi $x,y$ thực. Tính $f(2009)$.

Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ với $a_1=1$, $a_2=2009$, và $a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2-a_{n+1}a_n=0$ khi $n\ge1$. Tính $\dfrac{a_{993}}{100a_{991}}$.

Tìm số cách lát hình chữ nhật $4\times9$ bằng các quân hình chữ nhật $1\times2$.

Tìm số số nguyên dương có bảy chữ số mà các chữ số từ trái sang phải không tăng. Ví dụ $9998766$, $5555555$ thỏa điều kiện; $7776556$ không thỏa.

Tìm số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn $5000$ có dạng $a^n-1$, với $a,n$ là số nguyên dương và $n\gt 1$.

Tìm hằng số $M$ nhỏ nhất sao cho $\displaystyle\frac{x_1}{x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_2+x_3}+\cdots+\frac{x_{2009}}{x_{2009}+x_1}\lt M$ với mọi $x_1,\ldots,x_{2009}$ thực dương.