Alice viết $1001$ chữ cái lên bảng, mỗi chữ được chọn độc lập và đều từ $S=\{a,b,c\}$. Mỗi bước xóa hai chữ khác nhau trên bảng và thay bằng chữ thứ ba trong $S$. Xác suất Alice có thể thực hiện một dãy bước để cuối cùng chỉ còn một chữ là bao nhiêu?
Cho tam giác $ABC$ có $AB=5$, $BC=6$, $CA=7$. Lấy $D$ trên tia $AB$ ở ngoài $B$ với $BD=7$, $E$ trên tia $BC$ ở ngoài $C$ với $CE=5$, và $F$ trên tia $CA$ ở ngoài $A$ với $AF=6$. Tính diện tích đường tròn ngoại tiếp $DEF$.
Các nút thang máy ở Science Center của Harvard tạo thành lưới $3\times2$ gồm các nút giống nhau; mỗi nút sáng khi được nhấn. Một ngày, mọi đèn khác trong thang máy bị hỏng, nên một sinh viên chỉ nhìn thấy các nút đang sáng, không biết chúng ứng với tầng nào. Biết có ít nhất một nút sáng, sinh viên có thể quan sát bao nhiêu kiểu sắp xếp khác nhau? (Ví dụ nếu chỉ một nút sáng, kiểu quan sát được giống nhau bất kể đó là nút nào.)
Lục giác đều $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ có cạnh $2$. Với $1\le i\le6$, gọi $C_i$ là đường tròn đơn vị tâm $P_i$, và $\ell_i$ là một trong các tiếp tuyến chung trong của $C_i,C_{i+2}$, với $C_7=C_1,C_8=C_2$. Giả sử sáu đường $\ell_1,\ldots,\ell_6$ giới hạn một lục giác đều. Diện tích lục giác này là $\sqrt{a/b}$, với $a,b$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $100a+b$.
Cho số nguyên $n\gt 1$ và một họ $S$ gồm $\frac12\binom{2n}{n}$ tập con $n$ phần tử phân biệt của $\{1,2,\ldots,2n\}$. Chứng minh tồn tại $A,B\in S$ sao cho $|A\cap B|\le1$.
Ana và Banana gieo xúc xắc sáu mặt thông thường. Ana gieo hai lần được $a_1,a_2$, rồi Banana gieo hai lần được $b_1,b_2$. Sau hai lần gieo của Ana nhưng trước hai lần gieo của Banana, họ tính xác suất $p$ để $a_1b_1+a_2b_2$ chia hết cho $6$. Xác suất để $p=\frac16$ là bao nhiêu?
Các số thực dương $x,y$ thỏa mãn
$$||\cdots|||x|-y|-x|\cdots-y|-x|=||\cdots|||y|-x|-y|\cdots-x|-y|,$$
trong đó mỗi vế có 2019 phép lấy giá trị tuyệt đối $|\cdot|$. Hãy xác định và chứng minh mọi giá trị có thể của $x/y$.
Anne-Marie có bộ bài 16 lá, mỗi lá ghi một ước dương khác nhau của $2002$. Cô xáo bài rồi rút từng lá không hoàn lại. Cô dừng khi có một tập con khác rỗng các lá đang cầm mà tích các số trên đó là số chính phương. Kỳ vọng số lá cô cầm khi dừng là bao nhiêu?
Trong tam giác $ABC$ với $AB=8$, $AC=10$, tâm nội tiếp $I$ được phản xạ qua $AB$ thành $X$ và qua $AC$ thành $Y$. Biết đoạn $XY$ đi qua trung điểm $AI$, tính $BC^2$. (Tâm nội tiếp là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.)
Kiến Roger bắt đầu tại $(0,0)$ trên mặt phẳng tọa độ. Mỗi giây, nó đi đến một điểm nguyên khác cách điểm hiện tại $1$, chọn đều trong các khả năng. Nó tiếp tục cho đến khi đến một điểm $P$ mà lẽ ra có thể đến nhanh hơn nếu đi theo đường khác. Ví dụ đường $(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(1,2)\to(0,2)$ dừng ở $(0,2)$ vì có thể đi $(0,0)\to(0,1)\to(0,2)$ chỉ trong 2 giây. Kỳ vọng số bước trước khi dừng là $a/b$, với $a,b$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $100a+b$.
Trong khi chờ đồ ăn tại một nhà hàng ở Harvard Square, Ana và Banana vẽ ba ô $\square_1,\square_2,\square_3$ trên khăn giấy. Bắt đầu từ Ana, họ luân phiên điền các số nguyên trong $\{1,2,3,4,5\}$ vào ô, không dùng số nào quá một lần. Ana muốn làm nhỏ nhất giá trị cực tiểu $M$ của đa thức $a_1x^2+a_2x+a_3$ trên tập số thực; $a_1,a_2,a_3$ là các số ở ba ô tương ứng. Banana muốn làm lớn nhất $M$. Giả sử cả hai chơi tối ưu, tính giá trị cuối của $100a_1+10a_2+a_3$.
Cho đường tròn $\Gamma$ và hai đường tròn không cắt nhau $\omega_1,\omega_2$ nằm trong $\Gamma$, tiếp xúc trong với $\Gamma$ lần lượt tại $X_1,X_2$. Một tiếp tuyến chung trong của $\omega_1,\omega_2$ tiếp xúc tại $T_1,T_2$ và cắt $\Gamma$ tại $A,B$. Biết $2X_1T_1=X_2T_2$ và bán kính của $\omega_1,\omega_2,\Gamma$ lần lượt là $2,3,12$. Tính $AB$.
Tessa chọn ba số thực $x,y,z$ và tính tám biểu thức dạng $\pm x\pm y\pm z$. Tám giá trị đôi một khác nhau, nên cô ghi các biểu thức theo thứ tự tăng dần. Ví dụ với $x=2,y=3,z=4$, thứ tự là
$$-x-y-z,+x-y-z,-x+y-z,-x-y+z,+x+y-z,+x-y+z,-x+y+z,+x+y+z.$$
Có bao nhiêu thứ tự có thể?
Một ngôi làng có $n$ người. Trong cuộc bầu cử hằng năm, từng nhóm ba người lên sân khấu và bỏ một phiếu chọn người trong làng làm trưởng làng. Sau khi mọi nhóm ba người đã bỏ phiếu, người có nhiều phiếu nhất thắng.
Năm nay mọi người nhận được số phiếu đúng bằng nhau! Nếu $10\le n\le100$, có bao nhiêu giá trị có thể của $n$?
Người đề xuất: Vincent Bian
Hai đường tròn đồng tâm $\Gamma_1,\Gamma_2$ có bán kính lần lượt $1,2$. Chọn độc lập, đều ngẫu nhiên bốn điểm trên $\Gamma_2$, rồi nối thành tứ giác lồi. Xác suất chu vi tứ giác cắt $\Gamma_1$ là bao nhiêu?
