2006 xIMC keystage2-EMIC team

Bốn số tự nhiên khác nhau, mỗi số lớn hơn $3$, được điền theo thứ tự tăng vào bốn ô có tổng $27$. Có bao nhiêu cách?

Số $22$ có tổng các chữ số bằng tích các chữ số. Tìm số tự nhiên tám chữ số nhỏ nhất có tính chất đó.

Số $X$ có bốn chữ số khác không. Đảo thứ tự chữ số được $Y$. Tổng hai số là $14773$, hiệu là $3177$. Tìm số lớn hơn.

$ABCD$ là hình bình hành. Các điểm $P,Q,R,S$ lần lượt thuộc cạnh $AB,BC,CD,DA$, có $AP=DR$. Diện tích $ABCD$ bằng $16$ cm$^2$. Tìm diện tích tứ giác $PQRS$.

Adi cần đạt $100$ điểm bài thi cuối để có trung bình toàn bộ $90$. Bạn chỉ đạt $75$, khiến trung bình còn $85$. Bạn đã thi tất cả bao nhiêu bài?

Annisa xếp $120$ lập phương đơn vị thành hình hộp chữ nhật rồi sơn cả sáu mặt ngoài. Tháo ra có $24$ lập phương không bị sơn mặt nào. Tìm diện tích toàn phần hình hộp, tính bằng đơn vị vuông.

Các lập phương đơn vị tạo khối dạng tháp như hình, có một lỗ xuyên trái-phải, một lỗ trên-dưới, một lỗ trước-sau. Có tất cả bao nhiêu lập phương còn lại?

Hai số $31513$, $34369$ chia cùng một số ba chữ số cho cùng số dư. Số dư là bao nhiêu?

Điền bất kỳ bốn chữ số từ $1$ đến $5$ vào hình vuông $2\times2$. Mỗi hàng có chữ số trái lớn hơn phải; mỗi cột có chữ số trên lớn hơn dưới. Có bao nhiêu cách? Hình gốc cho hai ví dụ.

Điều khiển robot có ba nút cho đi tới $1$, $2$, hoặc $3$ bước. Có bao nhiêu dãy bấm nút khác nhau cho robot đi đúng $8$ bước?