IMC 2006 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Thầy muốn đường tròn lớn nhất có thể nằm trong tam giác cạnh $2,2,2x$, với $x\gt 0$ thực. Alex đề xuất $x=1$; Brian đề xuất $x=\sqrt2$; Colin nói cả hai đều sai. Ai đúng?

Một tam giác có thể cắt thành hai tam giác cân. Một góc ban đầu bằng $36^\circ$. Tìm mọi số đo có thể theo độ của góc lớn nhất tam giác ban đầu.

Năm tetromino, mỗi mảnh gồm bốn ô vuông đơn vị nối theo cạnh. Ghép mảnh hình L với lần lượt từng mảnh trong bốn mảnh khác đã vẽ, để được một hình có trục đối xứng.

Mười lăm quân domino ghi $11,12,13,14,15,22,23,24,25,33,34,35,44,45,55$ ghép kín hình chữ nhật $5\times6$ đã vẽ. Mỗi quân gồm hai ô có số, chung một cạnh. Biên riêng các quân đã bị xóa. Hãy dựng lại các biên.

Số may mắn là số nguyên dương bằng mười chín lần tổng các chữ số thập phân của nó. Tìm mọi số may mắn.

Alice và Betty luân phiên điền không hoặc một vào ô trống bất kỳ trên bàn $n\times n$, Alice đi trước. Khi bàn đầy, Betty thắng nếu mọi hàng có tổng chẵn; nếu không Alice thắng. (a) Ai có chiến lược thắng khi $n=2006$? (b) Trả lời với mọi $n$ nguyên dương.

Chứng minh $1596^n+1000^n-270^n-320^n$ chia hết cho $2006$ với mọi số nguyên dương lẻ $n$.

Bỏ khỏi các số nguyên dương mọi bội của bốn và mọi số hơn một bội của bốn đúng một đơn vị. Gọi $S_n$ là tổng $n$ số đầu còn lại. Tính $$\lfloor\sqrt{S_1}\rfloor+\lfloor\sqrt{S_2}\rfloor+\cdots+\lfloor\sqrt{S_{2006}}\rfloor,$$ trong đó ký hiệu phần nguyên chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá số bên trong.

$ABC,PQR$ đều là tam giác đều, mỗi tam giác có diện tích một cm vuông. Tâm $M$ của $PQR$ nằm trên biên $ABC$. Tìm diện tích phần giao nhỏ nhất theo cm vuông.

Với số nguyên dương $m$, có số nguyên dương $n$ sao cho $mn$ là số chính phương và $m-n$ nguyên tố. Tìm mọi $m$ như vậy thỏa mãn $1000\le m\lt 2006$.