Câu hỏi 1
Với mỗi số thực $x$, ta gọi $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Cho dãy số $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi $a_n=\dfrac1{4^{[-\log_4 n]}}$ với mọi $n\ge1$. Đặt
$$b_n=\frac1{n^2}\left(\sum_{k=1}^na_k-\frac1{a_1+a_2}\right),\qquad n\ge1.$$
(a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P(a_n/n)$ với mọi $n\ge1$.
(b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{n_k}=2024/2025$.
$$b_n=\frac1{n^2}\left(\sum_{k=1}^na_k-\frac1{a_1+a_2}\right),\qquad n\ge1.$$
(a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P(a_n/n)$ với mọi $n\ge1$.
(b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $(n_k)_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\displaystyle\lim_{k\to\infty}b_{n_k}=2024/2025$.