Cho hai tập hợp $A,B$ gồm các số nguyên dương, thỏa mãn $|A|=|B|=n$ (với $n$ là số nguyên dương) và có tổng các phần tử bằng nhau. Xét bảng ô vuông $n\times n$. Chứng minh rằng có thể điền vào mỗi ô một số nguyên không âm thỏa mãn đồng thời: (i) các tổng hàng là các phần tử của tập $A$; (ii) các tổng cột là các phần tử của tập $B$; (iii) có ít nhất $(n-1)^2+k$ số $0$, với $k$ là số phần tử chung của $A$ và $B$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với đường tròn nội tiếp $I$. Gọi $(k_a)$ là đường tròn có tâm nằm trên đường cao của góc $A$, đi qua điểm $A$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(I)$ tại $A_1$. Các điểm $B_1,C_1$ xác định tương tự.
1/ Chứng minh $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng qui tại $P$.
2/ Gọi $(J_a),(J_b),(J_c)$ lần lượt là các đường tròn đối xứng với đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$ qua trung điểm $BC,CA,AB$.
Chứng minh $P$ là tâm đẳng phương của 3 đường tròn nói trên.
Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$S=\frac{\cos^2(A/2)\cos^2(B/2)}{\cos^2(C/2)}+\frac{\cos^2(B/2)\cos^2(C/2)}{\cos^2(A/2)}+\frac{\cos^2(C/2)\cos^2(A/2)}{\cos^2(B/2)}.$$
Cho $A$ là tập con chứa $2007$ phần tử của tập $\{1,2,3,\ldots,4013,4014\}$ thỏa mãn với mọi $a,b\in A$ thì $a$ không chia hết cho $b$. Gọi $m_A$ là phần tử nhỏ nhất của $A$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $m_A$ với $A$ thỏa mãn các điều kiện trên.
Cho đa giác $9$ cạnh đều $(H)$. Xét ba tam giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ sao cho không có hai tam giác nào chung đỉnh. Chứng minh rằng có thể chọn từ mỗi tam giác một cạnh sao cho ba cạnh này bằng nhau.