Cho $x,y$ là các số nguyên, $x\ne-1$ và $y\ne-1$ sao cho
$$\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$$
là số nguyên. Chứng minh rằng $x^4y^{44}-1$ chia hết cho $x+1$.
Cho tam giác $ABC$ có hai đỉnh $B,C$ cố định và đỉnh $A$ thay đổi. Gọi $H,G$ lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác $ABC$. Tìm quỹ tích điểm $A$, biết rằng trung điểm $K$ của $HG$ thuộc đường thẳng $BC$.
Cho một đa giác đều $2007$ đỉnh. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thoả mãn tính chất: Trong mỗi cách chọn $k$ đỉnh của đa giác luôn tồn tại $4$ đỉnh tạo thành một tứ giác lồi mà $3$ trong số $4$ cạnh của nó là $3$ cạnh của đa giác đã cho.
Cho $b$ là một số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập các số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thoả mãn phương trình
$$f(x+y)=f(x)3^{b^y+f(y)-1}+b^x\left(3^{b^y+f(y)-1}-b^y\right)\qquad\forall x,y\in\mathbb R.$$
Cho hình thang $ABCD$ có đáy lớn $BC$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O$. Gọi $P$ là một điểm thay đổi trên đường thẳng $BC$ và nằm ngoài đoạn $BC$ sao cho $PA$ không là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$. Đường tròn đường kính $PD$ cắt $(O)$ tại $E$ ($E\ne D$). Gọi $M$ là giao điểm của $BC$ với $DE$, $N$ là giao điểm khác $A$ của $PA$ với $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ đi qua một điểm cố định.
Cho số thực $a\gt 2$. Đặt
$$f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+\cdots+x+1\qquad(n=1,2,\ldots).$$
Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n\in(0;+\infty)$. Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$.