$S$ là một đường tròn cố định với bán kính $R$. $P$ là một điểm cố định nằm bên trong đường tròn với $OP=d\lt R$. Tứ giác $ABCD$ là một tứ giác thay đổi sao cho $A,B,C,D$ nằm trên $S$, $AC$ giao với $BD$ tại điểm $P$, và $AC$ vuông góc tới $BD$. Hãy xác định giá trị lớn nhất và bé nhất của chu vi tứ giác $ABCD$ theo $R$ và $d$.
Cho $n\gt 1$ là một số nguyên không chia hết cho $1997$. Đặt
$$a_m=m+\frac{mn}{1997}\quad(m=1,2,\ldots,1996)$$
và
$$b_m=m+\frac{1997m}{n}\quad(m=1,2,\ldots,n-1).$$
Sắp xếp tất cả các số hạng $a_i,b_j$ trong một dãy theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng hiệu của hai số hạng liên tiếp là bé hơn $2$.
Có bao nhiêu hàm $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thỏa mãn $f(1)=1$ và
$$f(n)f(n+2)=f(n+1)^2+1997$$
với mọi $n$ nguyên dương?
Cho $k=\sqrt[3]{3}$. Hãy tìm một đa thức $p(x)$ với các hệ số hữu tỷ và cấp càng nhỏ càng tốt thoả mãn $p(k+k^2)=3+k$. Hỏi rằng có tồn tại hay không một đa thức $q(x)$ với hệ số nguyên thoả mãn $q(k+k^2)=3+k$?
Cho $75$ điểm trong một lập phương đơn vị, sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng chúng ta có thể chọn được ba điểm tạo thành một tam giác với diện tích không vượt quá $7/72$.