Hãy xác định tất cả các số thực $x,y$ sao cho
$$\begin{cases}\sqrt{3x}\left(1+\dfrac1{x+y}\right)=2,\\[3pt]\sqrt{7y}\left(1-\dfrac1{x+y}\right)=4\sqrt2.\end{cases}$$
$SABC$ là một tứ diện. $DAB,EBC,FCA$ là các tam giác trong mặt phẳng của $ABC$ đồng dạng với các tam giác $SAB,SBC,SCA$ tương ứng. $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$. Giả sử rằng $K$ là mặt cầu ngoại tiếp của $SABC$ đối diện với $O$ (cái mà tiếp xúc với các mặt phẳng $SAB,SBC,SCA,ABC$ nằm trên các cạnh đối diện của $ABC$ tới $S$, nhưng mà nằm trên cùng phía của đối với $SAB$ của $C$, cùng phía đối với $SBC$ của $A$, cùng phía đối với $SCA$ của $B$). Chứng minh rằng $K$ tiếp xúc với mặt phẳng $ABC$ ở điểm $O$.
Cho $n$ là một số nguyên dương và $k$ là một số nguyên dương không lớn hơn $n$. Hãy xác định số các bộ $k$ phần tử có thứ tự $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ thoả mãn các điều kiện sau đây:
(a) Tất cả các $a_i$ đều phân biệt và thuộc vào $\{1,2,\ldots,n\}$.
(b) $a_r\gt a_s$ với $r\lt s$ nào đó.
(c) $a_r$ có cùng tính chẵn lẻ với $r$ đối với $r$ nào đó.
Hãy xác định tất cả các hàm số $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thoả mãn
$$f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996$$
với mọi $n$ nguyên dương.
Tam giác $ABC$ với $BC=1$ và góc $A$ bằng $x$. Kí hiệu $f(x)$ là khoảng cách bé nhất có thể giữa tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác. Hãy xác định $f(x)$. Hỏi rằng giá trị lớn nhất của $f(x)$ khi $60^\circ\lt x\lt 180^\circ$ là bao nhiêu?
Cho $x,y,z,w$ là các số thực không âm thoả mãn điều kiện
$$2(wx+wy+wz+xy+xz+yz)+wxy+xyz+yzw+zwx=16.$$
Chứng minh rằng
$$3(w+x+y+z)\ge2(wx+wy+wz+xy+xz+yz).$$