Câu hỏi 1
Cho tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$. Lấy sáu điểm phân biệt $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ không trùng với $A,B,C$ sao cho $A_1,A_2$ nằm trên đường thẳng $BC$; $B_1,B_2$ nằm trên đường thẳng $CA$; $C_1,C_2$ nằm trên đường thẳng $AB$. Các số thực $\alpha,\beta,\gamma$ được xác định bởi
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\frac\alpha a\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{B_1B_2}=\frac\beta b\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{C_1C_2}=\frac\gamma c\overrightarrow{AB}.$$
Xét các đường tròn ngoại tiếp $AB_1C_1,AB_2C_2,BC_1A_1,BC_2A_2,CA_1B_1,CA_2B_2$. Gọi $d_A,d_B,d_C$ lần lượt là trục đẳng phương của cặp đường tròn qua $A$, cặp qua $B$, cặp qua $C$. Chứng minh ba trục đồng quy khi và chỉ khi $a\alpha+b\beta+c\gamma\ne0$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\frac\alpha a\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{B_1B_2}=\frac\beta b\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{C_1C_2}=\frac\gamma c\overrightarrow{AB}.$$
Xét các đường tròn ngoại tiếp $AB_1C_1,AB_2C_2,BC_1A_1,BC_2A_2,CA_1B_1,CA_2B_2$. Gọi $d_A,d_B,d_C$ lần lượt là trục đẳng phương của cặp đường tròn qua $A$, cặp qua $B$, cặp qua $C$. Chứng minh ba trục đồng quy khi và chỉ khi $a\alpha+b\beta+c\gamma\ne0$.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.