VMO 1995 — Bảng A

Hãy xác định tất cả các nghiệm thực của phương trình
$$x^3-3x^2-8x+40-8(4x+4)^{1/4}=0.$$

Dãy số nguyên $\{a_n\}_{n=0}^{+\infty}$ được xác định bởi $a_0=1$, $a_1=3$ và
$$a_{n+2}=\begin{cases}a_{n+1}+9a_n,&n=2k,\\ 9a_{n+1}+5a_n,&n=2k+1.\end{cases}$$
Chứng minh rằng $a_{1995}^2+a_{1996}^2+a_{1997}^2+a_{1998}^2+a_{1999}^2+a_{2000}^2$ chia hết cho $20$, và rằng không có số hạng $a_{2m+1}$ là số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $AD,BE,CF$. Các điểm $A',B',C'$ trên $AD,BE,CF$ sao cho
$$\frac{AA'}{AD}=\frac{BB'}{BE}=\frac{CC'}{CF}=k.$$
Hãy xác định tất cả các số $k$ để tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$.

Cho tứ diện $ABCD$. $A'$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện đỉnh $A$. Các điểm $B',C',D'$ xác định tương tự. $p_A$ là mặt phẳng đi qua $A$ vuông góc với $C'D'$, $p_B$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với $D'A'$, $p_C$ là mặt phẳng đi qua $C$ và vuông góc với $A'B'$. Cuối cùng $p_D$ là mặt phẳng đi qua $D$ và vuông góc với $B'C'$. Chứng minh rằng bốn mặt phẳng nói trên có điểm chung. Hỏi rằng nếu điểm chung đó trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ thì tứ diện đó phải đều có đúng không? Giải thích câu trả lời của bạn.

Hãy xác định tất cả các đa thức $p(x)$ thỏa mãn $p(x)=a$ có hơn $1995$ nghiệm thực, tất cả lớn hơn $1995$, với mọi $a\gt 1995$ (nếu nghiệm nào đó có bội thì nó cũng được tính thành các nghiệm với số bội đó).

Có bao nhiêu cách để tô màu các đỉnh của $2n$ đa giác đều với $n$ màu, sao cho mỗi đỉnh được tô một màu, và bất kì màu được dùng cho hai đỉnh không kề nhau? Hai cách tô màu được coi là như nhau nếu cách này được nhận từ cách kia sau một phép quay.