VN TST 1995

Cho tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$. Lấy sáu điểm phân biệt $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ không trùng với $A,B,C$ sao cho $A_1,A_2$ nằm trên đường thẳng $BC$; $B_1,B_2$ nằm trên đường thẳng $CA$; $C_1,C_2$ nằm trên đường thẳng $AB$. Các số thực $\alpha,\beta,\gamma$ được xác định bởi
$$\overrightarrow{A_1A_2}=\frac\alpha a\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{B_1B_2}=\frac\beta b\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{C_1C_2}=\frac\gamma c\overrightarrow{AB}.$$
Xét các đường tròn ngoại tiếp $AB_1C_1,AB_2C_2,BC_1A_1,BC_2A_2,CA_1B_1,CA_2B_2$. Gọi $d_A,d_B,d_C$ lần lượt là trục đẳng phương của cặp đường tròn qua $A$, cặp qua $B$, cặp qua $C$. Chứng minh ba trục đồng quy khi và chỉ khi $a\alpha+b\beta+c\gamma\ne0$.

Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Tìm tất cả các số nguyên $k$ sao cho có vô số giá trị nguyên $n\ge3$ để đa thức $$P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995$$ phân tích được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên, mỗi đa thức có bậc ít nhất một.

Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Tìm tất cả các số nguyên $a,b,n>1$ thỏa mãn $$(a^3+b^3)^n=4(ab)^{1995}.$$

Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Trong không gian cho $n\ge2$ điểm mà không có bốn điểm nào đồng phẳng và $\tfrac12(n^2-3n+4)$ đoạn thẳng có mọi đầu mút trong số các điểm đó. Biết rằng có ít nhất một đoạn mà sau khi bỏ nó đi, giữ nguyên các đầu mút, sẽ tồn tại hai điểm phân biệt không phải hai đầu mút của bất kỳ đường gấp khúc nào tạo bởi các đoạn còn lại. Tìm số $k$ lớn nhất sao cho có $k$ đoạn đã cho tạo thành đường gấp khúc khép kín mà mỗi đỉnh là mút của đúng hai đoạn thuộc đường gấp khúc đó.

Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Với mỗi số nguyên không âm $n$, đặt $f(n)$ là số nguyên không âm lớn nhất sao cho $2^{f(n)}$ là ước của $n+1$. Cặp số nguyên không âm $(n,p)$ gọi là đẹp nếu $2^{f(n)}>p$. Tìm tất cả bộ ba số nguyên không âm $(n,p,q)$ sao cho $(n,p)$, $(p,q)$ và $(n+p+q,n)$ đều đẹp.

Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Cho hàm số thực $$f(x)=\frac{2x^3-3}{3(x^2-1)}.$$ 1. Chứng minh tồn tại hàm $g$ liên tục trên $\mathbb R$ thỏa mãn đồng thời $f(g(x))=x$ và $g(x)>x$ với mọi $x$ thực. 2. Chứng minh tồn tại số thực $a>1$ để dãy $a_0=a$, $a_{n+1}=f(a_n)$ với mọi số nguyên $n\ge0$ tuần hoàn với chu kỳ dương nhỏ nhất bằng $1995$. Hàm phân thức có miền xác định tự nhiên $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$.

Bài tự luận được chấm thủ công; hướng dẫn chấm là biên tập. Hệ số bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.