Cho tam giác $ABC$. Lấy đối xứng các đỉnh của tam giác qua các cạnh đối diện của nó để được tam giác $A'B'C'$. Hãy xác định điều kiện cần và đủ trên tam giác $ABC$ để hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ là tương đương.
Xác định dãy $x_0,x_1,x_2,\ldots$ bởi $x_0=a$ ở đó $0\lt a\lt 1$ và
$$x_{n+1}=\frac4{\pi^2}\left(\arccos x_n+\frac\pi2\right)\arcsin x_n.$$
Chứng minh rằng dãy đó hội tụ và hãy xác định giới hạn của chúng.
Có $n+1$ chiếc hộp được xếp trên một vòng tròn. Có một chiếc hộp có chứa $n$ viên đá, những chiếc khác thì trống không. Ta xác định một cách chuyển đổi như sau: chọn hai chiếc hộp $A$ và $B$, lấy hai viên đá từ $A$, một viên đặt nó vào một chiếc hộp gần kề với $B$, viên còn lại được đặt gần kề với $A$. Chú ý rằng ta có thể lấy $A=B$. Với $n$ như thế nào để sau khi thực hiện một chuỗi các chuyển đổi nói trên để nhận được rằng mỗi viên đá ở trong một chiếc hộp.
Giả sử $S$ là một hình cầu tâm $O$. $G$ và $G'$ là hai đường tròn lớn vuông góc trên $S$. Lấy $A,B,C$ trên $G$ và $D$ trên $G'$ sao cho các đường cao của một tứ diện $ABCD$ giao tại một điểm. Hãy xác định quỹ tích của điểm giao.
Tồn tại hay không các đa thức $p(x),q(x)$ và $r(x)$ với các hệ số là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
$$p(x)=(x^2-3x+3)q(x)\quad\text{và}\quad q(x)=\left(\frac{x^2}{20}-\frac{x}{15}+\frac1{12}\right)r(x)?$$