VN TST 1992

Cho hai số tự nhiên $n,m$ với $n\gt 1$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất sau: trong $k$ số nguyên tùy ý $a_1,a_2,\ldots,a_k$ mà $a_i-a_j$ không chia hết cho $n$ với mọi $i\ne j$, luôn tồn tại hai số $a_p,a_s$, $p\ne s$, sao cho $m+a_p-a_s$ chia hết cho $n$.

PDF được cung cấp không ghi thời gian làm bài. Bản này dùng 240 phút mỗi buổi theo yêu cầu của người dùng, tổng 480 phút cho hai buổi; đây là quy ước biên tập. Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.

Nguồn in ngày thi 19–20/05/1992; việc chia bài 1–3 và 4–6 là quy ước biên tập vì nguồn không có vạch chia buổi rõ ràng. Mọi hướng dẫn chấm tự luận đều do biên tập, và bài được chấm thủ công. Hệ số nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Cho đa thức $f(x)$ có hệ số thực và bậc không nhỏ hơn một. Chứng minh rằng với mỗi $c\gt 0$, tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho với mọi đa thức $P(x)$ có hệ số thực, bậc không nhỏ hơn $n_0$ và hệ số bậc cao nhất bằng một, số các số nguyên $x$ thỏa $|f(P(x))|\le c$ không vượt quá bậc của $P(x)$.

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$ và $a\ne b\ne c$. Trong mặt phẳng của tam giác lấy $A',B',C'$ sao cho:
1. Các cặp $A,A'$; $B,B'$; $C,C'$ hoặc đều ở cùng phía, hoặc đều ở khác phía đối với các đường thẳng $BC,CA,AB$ tương ứng.
2. Các tam giác $A'BC,B'CA,C'AB$ là các tam giác cân đồng dạng.
Hãy xác định góc $\angle A'BC$ theo $a,b,c$ để các độ dài $AA',BB',CC'$ không phải là ba độ dài cạnh của một tam giác. Tam giác được hiểu theo nghĩa thông thường: ba đỉnh không thẳng hàng.

Trong mặt phẳng cho một họ hữu hạn hình tròn sao cho hai hình tròn bất kỳ hoặc ở ngoài nhau hoặc tiếp xúc ngoài, và mỗi hình tròn không tiếp xúc quá sáu hình tròn khác. Giả sử mỗi hình tròn không tiếp xúc với sáu hình tròn khác đã được gán một số thực. Chứng minh rằng có không quá một cách gán số thực cho các hình tròn còn lại sao cho số ở mỗi hình tròn ấy bằng trung bình cộng của sáu số ở sáu hình tròn tiếp xúc với nó.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $$x^2+y^2-5xy+5=0.$$

Trong một hội thảo khoa học, các đại biểu biết tổng cộng $2n$ ngôn ngữ, với $n\ge2$. Mỗi người biết đúng hai ngôn ngữ, và bất cứ hai người nào cũng biết chung nhiều nhất một ngôn ngữ. Với mỗi số nguyên $k$ thỏa $1\le k\le n-1$, có không quá $k-1$ ngôn ngữ mà mỗi ngôn ngữ này có không quá $k$ người biết. Chứng minh rằng có thể chọn một nhóm $2n$ đại biểu biết tổng cộng $2n$ ngôn ngữ và mỗi ngôn ngữ có đúng hai đại biểu trong nhóm biết.