Cho tứ diện $ABCD$ thỏa mãn tổng ba góc phẳng đỉnh $A$ và $B$ cùng bằng $180^\circ$. Hai góc phẳng tại $C$ là $\angle ACD$ và $\angle BCD$ có tổng bằng $180^\circ$. Hãy xác định tổng các diện tích của bốn mặt theo $k=AC+CB$ và $\angle ACB=x$.
Với mỗi số nguyên dương $n$ kí hiệu $f(n)$ là số các ước dương của $n$ mà đồng dư với $\pm1$ theo modulo $10$, và xác định $g(n)$ là số các ước dương của $n$ mà đồng dư với $\pm3$ theo modulo $10$. Chứng minh rằng $f(n)\ge g(n)$.
Cho các số dương $a,b,c$. Xác định dãy $\{a_n\},\{b_n\}$ và $\{c_n\}$ thỏa mãn $a_0=a$, $b_0=b$ và $c_0=c$, đồng thời
$$a_{n+1}=a_n+\frac2{b_n+c_n},\quad b_{n+1}=\frac2{c_n+a_n},\quad c_{n+1}=c_n+\frac2{a_n+b_n}$$
với mọi $n\in\mathbb Z_+$. Chứng minh rằng $a_n$ tiến đến vô hạn khi $n$ tiến ra vô cùng.
Một hình chữ nhật kích thước $1991\times1992$ được chia thành các hình vuông đơn vị, mà ta đánh số các hình vuông đó bởi $(m,n)$ với $1\le m\le1991$ và $1\le n\le1992$ (tức là ô vuông nằm ở dòng thứ $m$ và cột thứ $n$). Đầu tiên ta sơn màu các hình vuông $(m,n)$, $(m+1,n+1)$ và $(m+2,n+2)$ với $m\lt 1989,n\lt 1991$. Sau đó mỗi lần tô màu ta tô ba hình vuông chưa tô màu mà nằm trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột. Hỏi rằng với cách làm trên có thể tô màu tất cả các hình vuông của hình chữ nhật hay không.
Cho hình chữ nhật $ABCD$ với tâm $O$ và góc $\angle AOB\le45^\circ$. Quay hình chữ nhật quanh tâm $O$ bởi góc $x$ thỏa mãn $0^\circ\lt x\lt 360^\circ$. Hãy xác định $x$ để phần giao của hình chữ nhật mới và hình chữ nhật ban đầu có diện tích bé nhất có thể.
Cho đa thức $p(x)$ với hằng số dẫn đầu bằng $1$ và mọi hệ số là bằng $0$ hoặc $1$. Chứng minh rằng đa thức $p(x)$ không có nghiệm thực nào lớn hơn
$$\frac{1-\sqrt5}{2}.$$