Một số nguyên dương được gọi là *hạnh phúc* nếu
* tất cả các chữ số của nó đôi một khác nhau và khác $0$,
* một trong các chữ số của nó bằng tổng các chữ số còn lại.
Chẳng hạn, $253$ là một số hạnh phúc. Có tất cả bao nhiêu số hạnh phúc?
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho mỗi số trong các số $k, k^2, \dots, k^n$ đều chứa ít nhất một khối 2022 trong biểu diễn thập phân của nó.
(Chẳng hạn, các số $4202213$ và $544202212022$ chứa ít nhất một khối 2022 trong biểu diễn thập phân của chúng.)
Ana và Beto chơi trò chơi sau trên một lưới ô vuông $2022 \times 2022$. Trước tiên, Ana tô đỏ một số đoạn đơn vị của lưới sao cho không có ô nào có hai cạnh đỏ chung một đỉnh. Tiếp theo, Beto phải vẽ một đường đi màu xanh nối hai trong bốn góc của lưới, đi dọc theo các cạnh của lưới và không dùng đoạn đỏ nào. Nếu Beto làm được, Beto thắng; nếu không, Ana thắng. Ai có chiến lược thắng?
Một số nguyên dương $n \gt 1$ với các ước dương là
$$
1 = d_1 \lt d_2 \lt \dots \lt d_k = n,
$$
được gọi là *sureño* nếu tất cả các số $d_2 - d_1, d_3 - d_2, \dots, d_k - d_{k-1}$ đều là ước của $n$.
a. Tìm một số nguyên dương không sureño và có đúng 2022 ước dương là số sureño.
b. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương không sureño và có đúng 2022 ước dương là số sureño.
Các số $1, 2, 3, \dots, 170$ được viết trên bảng. Ta muốn tô mỗi số bằng một trong $k$ màu $C_1, C_2, \dots, C_k$ sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi $i$ mà $1 \le i \lt k$, tổng tất cả các số được tô màu $C_i$ chia hết tổng tất cả các số được tô màu $C_{i+1}$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ để có thể thực hiện phép tô màu này.
Bốn đội $A$, $B$, $C$, $D$ thi đấu một giải bóng đá, trong đó mỗi đội gặp mỗi đội còn lại đúng hai lần (tổng cộng 12 trận). Trong mỗi trận, nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm; ngược lại, đội thắng được 3 điểm và đội thua không được điểm nào.
Biết rằng khi kết thúc giải, mỗi đội $A$, $B$, $C$ đều được 8 điểm, hãy tìm tất cả các số điểm có thể có của đội $D$.
Gọi $L$ là số có 2022 chữ số, tất cả đều là chữ số 1, tức là $L = \underbrace{111\ldots11}_{2022 \text{ chữ số}}$. Tìm tổng các chữ số của $9L^2 + 2L$.
Cho $ABCDEFGHI$ là một cửu giác đều với các đỉnh được ghi theo chiều ngược kim đồng hồ, và $ABJKLM$ là một lục giác đều với các đỉnh cũng được ghi theo chiều ngược kim đồng hồ. Chứng minh rằng hai góc $\angle HMG$ và $\angle KEL$ bằng nhau.
Ở thành phố Eventown, mọi đồng xu thật đều nặng một số chẵn gam và mọi đồng xu giả đều nặng một số lẻ gam.
Có $2022$ đồng xu và biết rằng có đúng $2$ đồng trong số đó là giả. Ta có một chiếc cân điện tử chỉ cho biết tổng khối lượng các vật đặt lên cân là chẵn hay lẻ.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho tồn tại một chiến lược cho phép xác định hai đồng xu giả với không quá $k$ lần cân.
Cho $m, n \ge 2$. Ta muốn phủ kín một bảng $m \times n$, không có khe hở và không chồng lên nhau, chỉ dùng các mảnh thuộc hai loại sau:
Loại A
Loại B
Mỗi mảnh loại A phải phủ đúng 4 ô của bảng và mỗi mảnh loại B phải phủ đúng 5 ô của bảng. Được phép xoay các mảnh. Tìm tất cả các cặp $(m, n)$ để có thể thực hiện được điều này.
Cho tam giác $ABC$ với $AB \lt AC$. Trên đường phân giác của góc $\angle BAC$, lấy hai điểm $X$ và $Y$ sao cho $X$ nằm giữa $A$ và $Y$, và $BX$ song song với $CY$. Gọi $Z$ là điểm đối xứng của $X$ qua $BC$. Gọi $P$ là giao điểm của hai đường thẳng $YZ$ và $BC$. Nếu hai đường thẳng $BY$ và $CX$ cắt nhau tại $K$, chứng minh rằng $KA = KP$.
Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $M$. Gọi $N$ là một điểm nằm trong tam giác $AMB$ sao cho $\angle AND = \angle BNC$. Chứng minh rằng $\angle MNC = \angle NDA$ và $\angle MND = \angle NCB$.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Từ các số nguyên từ $1$ đến $4n$ (kể cả hai đầu), người ta lập các cặp sao cho tích hai số trong mỗi cặp là một số chính phương. Mỗi số thuộc nhiều nhất một cặp, và hai số trong mỗi cặp phải khác nhau. Với mỗi $n$, tìm số cặp lớn nhất có thể lập được.
Gọi $N(a, b)$ là số cách phủ một bảng $a \times b$ bằng các quân domino. Ngoài ra, gọi $N^*(a, 2b + 1)$ là số cách phủ một bảng $a \times (2b+1)$ bằng các quân domino mà không có quân domino dọc nào nằm trong cột chính giữa. Chứng minh rằng $N^*(2m, 2n + 1) = 2^m N(2m, n)N(2m, n - 1)$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A$, $B$, $C$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt nhau lần thứ hai tại $M$. Giả sử đường thẳng $BM$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $M$, $F$, $D$ thẳng hàng.
Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là các điểm trên các tia $IB$ và $IC$ sao cho $\angle IAP = \angle CAD$ và $\angle IAQ = \angle BAD$. Chứng minh rằng $AP = AQ$.
Cho $n \ge 4$ và $k$ là các số nguyên dương. Xét $n$ đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Tại mỗi điểm trong $\frac{n(n-1)}{2}$ giao điểm của các đường thẳng này có $k$ đồng xu. Ana và Beto chơi trò chơi sau: mỗi người, đến lượt mình, chọn một điểm không nằm trên cùng một đường thẳng với điểm mà người kia đã chọn ở lượt trước, và bỏ đi một đồng xu từ điểm đó. Ana đi trước và có thể chọn điểm bất kỳ. Người không thể thực hiện nước đi sẽ thua.
Với mỗi giá trị của $n$ và $k$, hãy xác định người chơi nào có chiến lược thắng.
