MathNet 2022-part-05 — 197 bài (EN–VI)

Tổng của hai số tự nhiên bằng ba lần hiệu của chúng, còn tích của chúng bằng bốn lần tổng của chúng. Tổng của hai số tự nhiên này bằng bao nhiêu?

(A) 9
(B) 10
(C) 12
(D) 15
(E) 18

Kristina vẽ 2 hình vuông có độ dài cạnh tính bằng centimét là các số tự nhiên, rồi tô đậm phần của hình vuông lớn nằm ngoài hình vuông nhỏ (xem hình). Diện tích phần tô đậm bằng $43~\mathrm{cm}^2$. Tổng diện tích hai hình vuông của Kristina bằng bao nhiêu centimét vuông?

(A) 882
(B) 925
(C) 968
(D) 1685
(E) 2022

Ước lớn thứ hai của một số tự nhiên $n$ nào đó là 2022. Ước lớn thứ ba của số tự nhiên $n$ này là bao nhiêu?
(A) 337
(B) 674
(C) 1011
(D) 1348
(E) 2021

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $k$ và $n$ sao cho phân số $\frac{4^{k-1}}{n}$ khi viết dưới dạng thập phân có dạng $0, \bar{n}$, trong đó $\bar{n}$ kí hiệu chu kì. Ví dụ, nếu $n=720$ thì $0, \bar{n}=0,720720720 \ldots$

Hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\mathcal{K}$. Các đường thẳng chứa cạnh $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $M$, còn các tiếp tuyến của đường tròn $\mathcal{K}$ tại các điểm $B$ và $D$ cắt nhau tại điểm $N$. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng $MN$ và $AB$ song song.

Đường chéo của hai hình vuông $ABCD$ và $BEFG$ lần lượt dài $8~\mathrm{cm}$ và $11~\mathrm{cm}$. Điểm $P$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $BEFG$ (xem hình). Diện tích tam giác $APF$ bằng bao nhiêu centimét vuông?

(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12

Cho $p$ và $q$ là hai số nguyên tố phân biệt. Có bao nhiêu giá trị khác nhau của $a$ để cả hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^{2}+a x+p q=0$ đều là số nguyên?
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0

Cho hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x)= \begin{cases}x ; & x \geq 2 \\ f(4-x) ; & 0 \leq x\lt2 \\ f(x+2) ; & x\lt0\end{cases}
$$
Giá trị của $f(-5)$ bằng bao nhiêu?
(A) -3
(B) -1
(C) 1
(D) 3
(E) 5

Cho $p$ là một số nguyên tố và $n \leq p^{p}$ là một số tự nhiên. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số $n+p^{p}$ và $n \cdot p^{p}$ không phải là số chính phương.

Giá trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm của phương trình $\left(1-\left(1+x^{-2}\right)^{-1}\right)^{-1}=3,25$ bằng bao nhiêu?

(A) -3
(B) -1
(C) 1
(D) 3
(E) 0

Trong một lọ có $60 \%$ kẹo màu đỏ và $40 \%$ kẹo màu xanh. $30 \%$ số kẹo đỏ và $15 \%$ số kẹo xanh là kẹo sô-cô-la. Có bao nhiêu phần trăm số kẹo không phải là kẹo sô-cô-la?

(A) $24 \%$
(B) $85 \%$
(C) $90 \%$
(D) $76 \%$
(E) $45 \%$

Cho biểu thức $\frac{x^{n-1}}{x^{n}-2 x^{n-1}}-\frac{x^{n}}{x^{n+1}-4 x^{n-1}}$. Biểu thức nào tương đương với biểu thức đã cho khi $x \neq 0$?

(A) $\frac{1}{(x-2)}$

(B) $\frac{2}{(x-2)(x+2)}$

(C) $\frac{1}{(x+2)}$

(D) $\frac{2 x}{(x-2)(x+2)}$

(E) $\frac{1-x}{(x-2)(x+2)}$

Tone, Luka và Tine thu gom giấy vụn và nhận được một khoản tiền thưởng. Ban đầu khoản thưởng dự định được chia theo tỉ lệ $7:6:5$. Sau đó họ thay đổi thỏa thuận và chia khoản thưởng theo tỉ lệ $6:5:4$. Cả hai tỉ lệ đều được viết theo cùng thứ tự với thứ tự các tên đã nêu.

a. Cách chia nào có lợi hơn cho Tine? Giải thích câu trả lời.

b. Trong cách chia thứ hai, Tone nhận được nhiều hơn Tine 216 euro. Mỗi người nhận được bao nhiêu euro?

Biểu thức nào tương đương với biểu thức đã cho
$$
\frac{\sqrt[3]{4 a^{2} \cdot \sqrt[3]{a b} \cdot (a+b)^{0}}}{\left(8 b^{-2} \sqrt{a}\right)^{-\frac{2}{3}}}
$$
trong đó $a, b, a+b \neq 0$?

(A) $2^{\frac{8}{3}} a^{\frac{10}{9}} b^{-\frac{11}{9}}$

(B) $2^{\frac{2}{3}} a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{4}{9}}$

(C) $2^{-3} a^{-\frac{5}{3}} b^{\frac{7}{9}}$

(D) $2^{-\frac{7}{6}} a^{-\frac{10}{3}} b^{\frac{5}{9}}$

(E) $2^{\frac{7}{3}} a^{-2} b^{\frac{1}{6}}$

Trong hình thang $ABCD$, độ dài cạnh bên $AD$ bằng $13~\mathrm{cm}$ và độ dài cạnh bên $BC$ bằng $9~\mathrm{cm}$. Góc $\angle BAD$ bằng $37^\circ$. Số đo góc $\angle BCD$, làm tròn đến hai chữ số thập phân, bằng bao nhiêu nếu góc $\angle CBA$ là góc nhọn?

(A) $37^\circ$
(B) $143^\circ$
(C) $48,29^\circ$
(D) $119,62^\circ$
(E) $71,59^\circ$

Hàm số bậc nhất nghịch biến $f(x)=k \cdot x+n$ thỏa mãn $f(x+y)=f(x)+f(y)-3$ và $f(k)=2 f(1)$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$. Giá trị của $f(-1)$ bằng bao nhiêu?

(A) 4
(B) 0
(C) 2
(D) -2
(E) -4

Trong một tam giác vuông, tỉ số độ dài cạnh góc vuông $a$ và cạnh huyền $c$ là $3:4$.
a) Các đường phân giác của hai góc nhọn cắt nhau dưới góc bao nhiêu?
b) Đường phân giác của góc $\alpha$ cắt cạnh góc vuông đối diện dưới góc bao nhiêu?

Nghiệm của phương trình $\sqrt[5]{9^{x-3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=0$ là gì?
(A) $x=-\frac{7}{4}$
(B) $x=-\frac{4}{7}$
(C) $x=\frac{4}{7}$
(D) $x=\frac{7}{4}$
(E) $x=-\frac{9}{4}$

Thể tích chính xác của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình chữ nhật có các cạnh $a=2$ cm và $b=3$ cm quanh đường trung trực của cạnh ngắn hơn là bao nhiêu?
(A) $2\pi$ cm$^3$
(B) $4\pi$ cm$^3$
(C) $12\pi$ cm$^3$
(D) $\pi$ cm$^3$
(E) $3\pi$ cm$^3$

Tiếp tuyến nào của parabol có phương trình $y = x^{2} + x + 9$ song song với đường thẳng có phương trình $-4x + 2y - 5 = 0$?

(A) $4x - 8y + 37 = 0$
(B) $4x - 8y - 37 = 0$
(C) $8x - 4y - 35 = 0$
(D) $-4x - 8y + 37 = 0$
(E) $8x - 4y + 35 = 0$