Câu hỏi 6
Cho hàm số $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn
$$
k f(n) \le f(kn) \le k f(n) + k - 1
$$
với mọi $k, n \in \mathbb{N}$, trong đó $\mathbb{N}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương.
(1) Chứng minh rằng, với mọi $a, b \in \mathbb{N}$,
$$
f(a) + f(b) \le f(a + b) \le f(a) + f(b) + 1.
$$
(2) Chứng minh rằng, nếu $f$ thỏa mãn
$$
f(2007n) \le 2007 f(n) + 2005
$$
với mọi $n \in \mathbb{N}$, thì tồn tại $c \in \mathbb{N}$ sao cho $f(2007c) = 2007 f(c)$.
$$
k f(n) \le f(kn) \le k f(n) + k - 1
$$
với mọi $k, n \in \mathbb{N}$, trong đó $\mathbb{N}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương.
(1) Chứng minh rằng, với mọi $a, b \in \mathbb{N}$,
$$
f(a) + f(b) \le f(a + b) \le f(a) + f(b) + 1.
$$
(2) Chứng minh rằng, nếu $f$ thỏa mãn
$$
f(2007n) \le 2007 f(n) + 2005
$$
với mọi $n \in \mathbb{N}$, thì tồn tại $c \in \mathbb{N}$ sao cho $f(2007c) = 2007 f(c)$.