MathNet 2007-part-01 — 187 bài (EN–VI)

Tìm tất cả các cặp số nguyên $ (x, y) $ thỏa mãn
$$
x^3 y + x + y = xy + 2xy^2
$$

Cho $100$ số nguyên dương có tổng bằng tích của chúng.
Xác định số lượng nhỏ nhất các số $1$ có trong $100$ số nguyên đó.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ (với $D$ thuộc $BC$, $E$ thuộc $AC$ và $F$ thuộc $AB$). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường thẳng $AM$ tại $A$ và tại $X$. Đường thẳng $AM$ cắt đường thẳng $CF$ tại $Y$. Gọi $Z$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BX$.

Chứng minh rằng hai đường thẳng $YZ$ và $BC$ song song.

Xét một bảng $2007 \times 2007$. Người ta tô màu một số ô của bảng. Bảng được gọi là *charrúa* nếu không có hàng nào được tô kín hoàn toàn và không có cột nào được tô kín hoàn toàn.
a) Số ô được tô lớn nhất $k$ mà một bảng charrúa có thể có là bao nhiêu?
b) Với số $k$ đó, hãy tính số bảng charrúa khác nhau.

Cho $ABCDE$ là một ngũ giác lồi thỏa mãn các điều kiện sau:
* Tồn tại một đường tròn $\Gamma$ tiếp xúc với mọi cạnh của nó.
* Độ dài mọi cạnh của nó đều là số nguyên.
* Có ít nhất một cạnh của ngũ giác có độ dài $1$.
* Cạnh $AB$ có độ dài $2$.
Gọi $P$ là tiếp điểm của $\Gamma$ với cạnh $AB$.
a) Xác định độ dài các đoạn $AP$ và $BP$.
b) Cho một ví dụ về ngũ giác thỏa mãn các điều kiện đã nêu.

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho biểu diễn thập phân của mỗi số $k, 2k, \ldots, nk$ đều chứa tất cả các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Cho số nguyên dương $m$, dãy $\{a_n\}$ được xác định như sau:
$$
a_1 = \frac{m}{2}, \quad a_{n+1} = a_n [a_n], \text{ nếu } n \ge 1.
$$
Xác định tất cả các giá trị của $m$ sao cho $a_{2007}$ là số nguyên đầu tiên xuất hiện trong dãy.
Chú ý: Với số thực $x$, $[x]$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x$. Ví dụ, $[\pi] = 4$, $[2007] = 2007$.

Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và $\Gamma$ là một đường tròn tâm $I$, có bán kính lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp và không đi qua đỉnh nào của tam giác. Gọi $X_1$ là giao điểm của $\Gamma$ với đường thẳng $AB$ gần $B$ hơn; $X_2$, $X_3$ là các giao điểm của $\Gamma$ với đường thẳng $BC$, trong đó $X_2$ gần $B$ hơn; và $X_4$ là giao điểm của $\Gamma$ với đường thẳng $CA$ gần $C$ hơn. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $X_1X_2$ và $X_3X_4$. Chứng minh rằng $AK$ cắt đoạn $X_2X_3$ tại trung điểm của nó.

Hai đội $A$ và $B$ tranh giành vùng lãnh thổ giới hạn bởi một đường tròn.
$A$ có $n$ lá cờ xanh và $B$ có $n$ lá cờ trắng ($n \ge 2$, cố định). Họ chơi luân phiên và $A$ đi trước. Mỗi đội, đến lượt mình, cắm một lá cờ của mình tại một điểm trên đường tròn chưa được dùng ở nước đi trước đó. Mỗi lá cờ, một khi đã cắm, không được di chuyển.
Khi đã cắm xong cả $2n$ lá cờ, lãnh thổ được chia cho hai đội. Một điểm của lãnh thổ thuộc đội $A$ nếu lá cờ gần nó nhất là cờ xanh, và thuộc đội $B$ nếu lá cờ gần nó nhất là cờ trắng. Nếu lá cờ xanh gần một điểm nhất cách điểm đó bằng đúng khoảng cách từ lá cờ trắng gần nó nhất, thì điểm đó là trung lập (không thuộc $A$ cũng không thuộc $B$). Một đội thắng nếu các điểm của mình phủ một diện tích lớn hơn diện tích phủ bởi các điểm của đội kia. Hòa nếu hai diện tích bằng nhau.
Chứng minh rằng, với mọi $n$, đội $B$ có chiến lược thắng.

Trên một bảng ô vuông kích thước $19 \times 19$, một quân cờ gọi là *rồng* nhảy như sau: nó di chuyển $4$ ô theo một hướng song song với một cạnh của bảng và $1$ ô theo hướng vuông góc với hướng trước.



Từ $D$, con rồng có thể nhảy tới một trong bốn vị trí $X$.

Biết rằng với kiểu nhảy này, con rồng có thể đi từ ô bất kỳ tới ô bất kỳ khác.

Khoảng cách rồng giữa hai ô là số bước nhảy ít nhất mà con rồng phải thực hiện để đi từ ô này tới ô kia.

Gọi $C$ là ô nằm ở một góc của bảng và $V$ là ô láng giềng của $C$ chỉ chạm vào nó tại đúng một điểm.

Chứng minh rằng tồn tại ô $X$ của bảng sao cho khoảng cách rồng từ $C$ tới $X$ lớn hơn khoảng cách rồng từ $C$ tới $V$.

Gọi $\mathcal{F}$ là họ tất cả các lục giác lồi $H$ thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) các cạnh đối diện của $H$ song song;
(b) ba đỉnh bất kỳ của $H$ có thể được phủ bởi một dải có độ rộng $1$.
Xác định số thực nhỏ nhất $\ell$ sao cho mỗi lục giác thuộc họ $\mathcal{F}$ đều có thể được phủ bởi một dải có độ rộng $\ell$.

Trong một năm có 53 ngày thứ Bảy, ngày 12 tháng 5 là thứ mấy trong tuần?
Hãy nêu tất cả các khả năng.

Cho $X = \overline{a1b9}$ và $Y = \overline{51ab}$ là hai số nguyên dương, trong đó $a$ và $b$ là các chữ số. Biết rằng $X$ là bội của một số dương $n$ có hai chữ số và $Y$ là bội tiếp theo của chính số $n$ đó. Tìm số $n$ và các chữ số $a$ và $b$. Giải thích vì sao không có khả năng nào khác.

Jorge chọn 6 số nguyên dương phân biệt và viết mỗi số lên một mặt của một hình lập phương. Bạn ấy gieo hình lập phương ba lần.
Lần thứ nhất mặt trên là số $5$ và hơn nữa tổng các số ở các mặt bên là $20$.
Lần thứ hai mặt trên là số $7$ và hơn nữa tổng các số ở các mặt bên là $17$.
Lần thứ ba mặt trên là số $4$ và hơn nữa mọi số ở các mặt bên đều là số nguyên tố.
Jorge đã chọn những số nào và sắp xếp chúng lên các mặt của hình lập phương như thế nào? Hãy phân tích mọi khả năng.

Một bảng $7 \times 7$ có một bóng đèn ở mỗi ô trong 49 ô, mỗi đèn có thể bật hoặc tắt. Thao tác được phép là chọn 3 ô liên tiếp trên một hàng hoặc một cột mà có hai đèn kề nhau đang bật và đèn còn lại đang tắt, rồi đổi trạng thái cả ba đèn. Tức là:


Hãy đưa ra một cấu hình gồm đúng 8 đèn bật nằm trong 4 hàng đầu tiên của bảng sao cho, qua một dãy thao tác được phép, ta đạt tới trạng thái chỉ còn một đèn bật trên bảng và đèn đó nằm ở hàng cuối cùng. Hãy chỉ ra dãy thao tác được dùng để đạt mục tiêu.

Có một ngũ giác bằng giấy $ABCDE$ sao cho
$$
AB = BC = 3 \text{ cm},\ CD = DE = 5 \text{ cm},\ EA = 4 \text{ cm};\ \angle ABC = 100^\circ,\ \angle CDE = 80^\circ.
$$
Hãy chia ngũ giác thành bốn tam giác bằng ba nhát cắt thẳng, sao cho với bốn tam giác đó ta ghép được một hình chữ nhật, không có khe hở và không chồng lên nhau. (Các tam giác có thể được xoay và/hoặc lật mặt.)

Xác định số tự nhiên lớn nhất có tất cả các chữ số đôi một khác nhau và là bội của $5$, của $8$ và của $11$.

Cho $n \gt 2$ là một số nguyên chẵn. Cần đặt các quân cờ vào các ô của một bảng $n \times n$ sao cho trong mỗi cột số quân cờ là số chẵn khác không, và trong mỗi hàng số quân cờ là số lẻ.

Xác định số quân cờ ít nhất cần đặt lên bảng để thỏa mãn quy tắc này.

Hãy chỉ ra một cách đặt với số quân đó và giải thích vì sao với ít quân hơn thì không thể thỏa mãn quy tắc.

Tám bạn nhỏ, chiều cao đều khác nhau, phải xếp thành một hàng theo thứ tự từ thấp đến cao. Ta nói hàng có đúng một lỗi nếu có một bạn đứng ngay sau một bạn cao hơn mình, còn tất cả các bạn khác (trừ bạn đứng đầu hàng) đều đứng ngay sau một bạn thấp hơn mình. Có bao nhiêu cách để tám bạn xếp thành một hàng có đúng một lỗi?

Alex và Bruno cùng nhau viết một số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Mỗi người, đến lượt mình, viết một chữ số vào bên phải chữ số cuối cùng mà người kia vừa viết. Alex bắt đầu với chữ số đầu tiên bên trái và Bruno kết thúc với chữ số cuối cùng bên phải. (Cấm viết một chữ số đã được dùng.)
Bruno thắng nếu số có 6 chữ số đó là số nguyên tố. Ngược lại, Alex thắng.
Hãy xác định người nào có chiến lược thắng và giải thích người đó phải chơi thế nào để thắng bất kể người kia chơi giỏi đến đâu.