Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2018

Trong hình, $ABCD$ là hình vuông có $AB=24$ cm. Gọi $Q$ là trung điểm cạnh $CD$, $P$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, $R$ là giao điểm hai đoạn $AQ$ và $BD$. Tìm tổng diện tích tam giác $ARP$ và tam giác $DRQ$, tính bằng cm².

Một khối lập phương $9\times9\times9$ được tạo từ 729 khối lập phương đơn vị, mỗi khối có kích thước $1\times1\times1$. Có thể tìm thấy bao nhiêu khối lập phương khác nhau với các kích thước khác nhau trong khối $9\times9\times9$ này? (Lưu ý: hai khối có cùng kích thước nhưng ở vị trí khác nhau phải được tính là hai khối khác nhau.)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương có thứ tự $(m,n,p)$ sao cho $m^2+n^2=p^2$, trong đó $p$ là số nguyên tố, $p^2<200$ và $m<n$.

Peter sắp tô một số ô trong bảng $6\times6$ ở bên phải. Trong hai ô chung cạnh bất kỳ, nhiều nhất một ô được tô. Trên mỗi ô không tô, Peter viết số ô được tô có chung cạnh với ô ấy. Biết rằng mọi số được viết đều không lớn hơn 3, Peter có thể tô nhiều nhất bao nhiêu ô? Hãy điền một ví dụ vào bảng, gồm các ô tô và các số.

Tìm tất cả các số có ba chữ số $\overline{abc}$ sao cho $\overline{abc}=a!+b!+c!$. (Lưu ý: $n!$, đọc là $n$ giai thừa, nghĩa là $n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1$. Ví dụ, $6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$.)

Trong hình bình hành $ABCD$, điểm $E$ thuộc $AD$ sao cho $AE=DE$, điểm $F$ thuộc $CD$ và điểm $H$ thuộc $AB$ sao cho $EF\perp DC$ và $CH\perp AB$. Cho $AH:HB=3:2$ và điểm $G$ nằm trên đường thẳng $CH$. Nếu diện tích tam giác $EFG$ là 296 cm², tìm diện tích hình bình hành $ABCD$, tính bằng cm².

Có thể biểu diễn một số trong hệ cơ số 8. Ví dụ, 37 được viết là $(45)_8$ vì $(45)_8=4\times8+5=37$. Ngược lại, $(49)_8$ không tồn tại vì $4\times8+9=41$ phải được biểu diễn là $(51)_8$. Cho $\overline{AB}$ là số nguyên tố có hai chữ số trong hệ cơ số 10, với $A,B<8$. Nếu giá trị của $(\overline{AB})_8$ cũng là số nguyên tố trong hệ cơ số 10, ta có thể nhận được bao nhiêu giá trị của $(\overline{AB})_8$?

Tô mỗi cạnh của khối lập phương dưới đây bằng một trong 3 màu: xanh lam, đỏ hoặc vàng sao cho hai cạnh chung đỉnh bất kỳ khác màu. Có bao nhiêu cách tô khối lập phương? (Lưu ý: hai cách tô được xem là giống nhau nếu sau phép quay hoặc phản xạ, chúng trông giống nhau.)

Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 6 lập số có sáu chữ số $\overline{abcdef}$, trong đó các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau. Nếu $2\mid\overline{ab}$, $3\mid\overline{abc}$, $4\mid\overline{abcd}$, $5\mid\overline{abcde}$ và $6\mid\overline{abcdef}$, tìm mọi số $\overline{abcdef}$ có thể.

Một hình bát diện đều được cho trong hình bên phải. Có tất cả 6 đỉnh được nối bởi tổng cộng 12 cạnh. Một con kiến bắt đầu ở đỉnh $A$, đi dọc các cạnh nhưng không đi qua một cạnh quá một lần. Nếu kiến ghé mỗi đỉnh đúng một lần trước khi quay lại đỉnh $A$, có bao nhiêu lộ trình khác nhau?

Gọi $A$ là số nguyên dương có các chữ số khác nhau, và $B$ là số nguyên dương có các chữ số là một hoán vị của các chữ số của $A$. Giả sử $A-B=\underbrace{11\ldots1}_{m}$ (có $m$ chữ số 1). Tìm giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn các yêu cầu.

Cho $n$ là số nguyên dương có các chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số bằng 17. Nếu $n<2018$, có bao nhiêu giá trị khác nhau của $n$?

Dùng 16 quân đen và 16 quân trắng, có bao nhiêu cách đặt 16 quân vào bàn cờ $4\times4$, mỗi quân chiếm 1 ô, sao cho số quân trắng trong mỗi hàng và mỗi cột đều chẵn?

Dùng các chữ số từ 1 đến 7 để làm cho đẳng thức dưới đây đúng. Mỗi chữ cái biểu thị một chữ số khác nhau.

$$\boxed{a}+\boxed{b}\boxed{c}\div\boxed{d}=\boxed{e}\boxed{f}$$

Liệt kê tất cả các đẳng thức có thể nếu $d>3$.

Có 27 khối lập phương đơn vị, mỗi khối kích thước $1\times1\times1$, được dán thành khối lớn $3\times3\times3$. Mỗi mặt của mỗi khối đơn vị $1\times1\times1$ ghi một số nguyên dương sao cho:

(i) Hai mặt đối nhau của một khối đơn vị luôn ghi một số chẵn và một số lẻ. Hơn nữa, số chẵn bằng hai lần số lẻ.

(ii) Khi hai khối đơn vị tiếp xúc mặt với mặt, hai mặt tiếp xúc luôn ghi một số chẵn và một số lẻ. Hơn nữa, số lẻ lớn hơn số chẵn 1 đơn vị.



(a) Điền các số trên các mặt $A'$, $B'$ và $C'$, lần lượt đối diện các mặt $A$, $B$ và $C$. Tìm tổng các số trên các mặt $A'$, $B'$ và $C'$. (2 điểm)

(b) Tìm tổng các số trên tất cả các mặt của mọi khối đơn vị. (4 điểm)

Có 5 điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng. Biết rằng có thể tô năm đoạn bằng màu đỏ, các đoạn còn lại bằng màu xanh lam, sao cho tất cả các đoạn cùng màu tạo thành một ngũ giác đơn. Hãy vẽ một ví dụ.

Các hình sau là một số ví dụ ngũ giác đơn:



Các hình dưới KHÔNG phải ngũ giác đơn (vì tự cắt nhau):

Trong bảng $4\times4$, đặt một đồng xu ở mỗi ô. Một số đồng xu có mặt sấp hướng lên (T), còn tất cả các đồng xu khác có mặt ngửa hướng lên (H). Mỗi lượt được lật tất cả các đồng xu trong một hàng, một cột hoặc một đường chéo. Đường chéo có thể dài 1, 2, 3 hoặc 4 ô. Hãy làm cho mọi ô trong các bảng dưới đều là H với số lượt yêu cầu. Trình bày các bước.

(a) trong 4 lượt (1 điểm)
(b) trong 6 lượt (2 điểm)
(c) trong 6 lượt (3 điểm)

(a) Trong một dãy số nguyên dương, mỗi số hạng sau số hạng đầu bằng tổng của số hạng đứng ngay trước và chữ số lớn nhất của số hạng đó. Số lượng lớn nhất có thể của các số hạng lẻ liên tiếp trong dãy là bao nhiêu? (3 điểm)

(b) Trong dãy $\{00,01,02,03,\ldots,39\}$, các số hạng được sắp lại sao cho mỗi số hạng sau số hạng đầu nhận được từ số hạng trước bằng cách tăng hoặc giảm một trong các chữ số của nó 1 đơn vị. Ví dụ, sau 29 có thể là 19, 39 hoặc 28, nhưng không thể là 30 hoặc 20. Số lượng lớn nhất các số hạng có thể giữ nguyên vị trí ban đầu là bao nhiêu? (3 điểm)

(a) Một quân cờ có thể bắt đầu ở bất cứ đâu trên bàn cờ $7\times7$. Nó có thể nhảy qua 4 hoặc 5 ô trống theo chiều dọc hoặc ngang, nhưng không được ghé cùng một ô hai lần. Nó có thể ghé nhiều nhất bao nhiêu ô? (1 điểm)

(b) Một quân cờ có thể bắt đầu ở bất cứ đâu trên bàn cờ $9\times9$. Nó có thể nhảy qua 5 hoặc 6 ô trống theo chiều dọc hoặc ngang, nhưng không được ghé cùng một ô hai lần. Nó có thể ghé nhiều nhất bao nhiêu ô? (2 điểm)

(c) Một quân cờ có thể bắt đầu ở bất cứ đâu trên bàn cờ $15\times15$. Nó có thể nhảy qua 8 hoặc 9 ô trống theo chiều dọc hoặc ngang, nhưng không được ghé cùng một ô hai lần. Nó có thể ghé nhiều nhất bao nhiêu ô? (3 điểm)

Một công việc tại Hai Liang Education Park có thể được Alex làm một mình trong 6 giờ và Bob làm một mình trong 10 giờ. Alex làm một mình trong một giờ, sau đó Bob tiếp tục làm một mình trong một giờ. Nếu họ lặp lại cách làm này, công việc hoàn thành sau bao nhiêu giờ? Viết đáp án dưới dạng phân số.