Có 27 khối lập phương đơn vị, mỗi khối kích thước $1\times1\times1$, được dán thành khối lớn $3\times3\times3$. Mỗi mặt của mỗi khối đơn vị $1\times1\times1$ ghi một số nguyên dương sao cho:
(i) Hai mặt đối nhau của một khối đơn vị luôn ghi một số chẵn và một số lẻ. Hơn nữa, số chẵn bằng hai lần số lẻ.
(ii) Khi hai khối đơn vị tiếp xúc mặt với mặt, hai mặt tiếp xúc luôn ghi một số chẵn và một số lẻ. Hơn nữa, số lẻ lớn hơn số chẵn 1 đơn vị.
(a) Điền các số trên các mặt $A'$, $B'$ và $C'$, lần lượt đối diện các mặt $A$, $B$ và $C$. Tìm tổng các số trên các mặt $A'$, $B'$ và $C'$. (2 điểm)
(b) Tìm tổng các số trên tất cả các mặt của mọi khối đơn vị. (4 điểm)
Có 5 điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng. Biết rằng có thể tô năm đoạn bằng màu đỏ, các đoạn còn lại bằng màu xanh lam, sao cho tất cả các đoạn cùng màu tạo thành một ngũ giác đơn. Hãy vẽ một ví dụ.
Các hình sau là một số ví dụ ngũ giác đơn:
Các hình dưới KHÔNG phải ngũ giác đơn (vì tự cắt nhau):
Trong bảng $4\times4$, đặt một đồng xu ở mỗi ô. Một số đồng xu có mặt sấp hướng lên (T), còn tất cả các đồng xu khác có mặt ngửa hướng lên (H). Mỗi lượt được lật tất cả các đồng xu trong một hàng, một cột hoặc một đường chéo. Đường chéo có thể dài 1, 2, 3 hoặc 4 ô. Hãy làm cho mọi ô trong các bảng dưới đều là H với số lượt yêu cầu. Trình bày các bước.
(a) trong 4 lượt (1 điểm)
(b) trong 6 lượt (2 điểm)
(c) trong 6 lượt (3 điểm)
(a) Trong một dãy số nguyên dương, mỗi số hạng sau số hạng đầu bằng tổng của số hạng đứng ngay trước và chữ số lớn nhất của số hạng đó. Số lượng lớn nhất có thể của các số hạng lẻ liên tiếp trong dãy là bao nhiêu? (3 điểm)
(b) Trong dãy $\{00,01,02,03,\ldots,39\}$, các số hạng được sắp lại sao cho mỗi số hạng sau số hạng đầu nhận được từ số hạng trước bằng cách tăng hoặc giảm một trong các chữ số của nó 1 đơn vị. Ví dụ, sau 29 có thể là 19, 39 hoặc 28, nhưng không thể là 30 hoặc 20. Số lượng lớn nhất các số hạng có thể giữ nguyên vị trí ban đầu là bao nhiêu? (3 điểm)
(a) Một quân cờ có thể bắt đầu ở bất cứ đâu trên bàn cờ $7\times7$. Nó có thể nhảy qua 4 hoặc 5 ô trống theo chiều dọc hoặc ngang, nhưng không được ghé cùng một ô hai lần. Nó có thể ghé nhiều nhất bao nhiêu ô? (1 điểm)
(b) Một quân cờ có thể bắt đầu ở bất cứ đâu trên bàn cờ $9\times9$. Nó có thể nhảy qua 5 hoặc 6 ô trống theo chiều dọc hoặc ngang, nhưng không được ghé cùng một ô hai lần. Nó có thể ghé nhiều nhất bao nhiêu ô? (2 điểm)
(c) Một quân cờ có thể bắt đầu ở bất cứ đâu trên bàn cờ $15\times15$. Nó có thể nhảy qua 8 hoặc 9 ô trống theo chiều dọc hoặc ngang, nhưng không được ghé cùng một ô hai lần. Nó có thể ghé nhiều nhất bao nhiêu ô? (3 điểm)
