IMSO 2018 — Phần Toán — Tự luận

Trong hình, $ABCD$ là hình vuông có $AB=24$ cm. Gọi $Q$ là trung điểm cạnh $CD$, $P$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, $R$ là giao điểm hai đoạn $AQ$ và $BD$. Tìm tổng diện tích tam giác $ARP$ và tam giác $DRQ$, tính bằng cm².

Một khối lập phương $9\times9\times9$ được tạo từ 729 khối lập phương đơn vị, mỗi khối có kích thước $1\times1\times1$. Có thể tìm thấy bao nhiêu khối lập phương khác nhau với các kích thước khác nhau trong khối $9\times9\times9$ này? (Lưu ý: hai khối có cùng kích thước nhưng ở vị trí khác nhau phải được tính là hai khối khác nhau.)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương có thứ tự $(m,n,p)$ sao cho $m^2+n^2=p^2$, trong đó $p$ là số nguyên tố, $p^2<200$ và $m<n$.

Peter sắp tô một số ô trong bảng $6\times6$ ở bên phải. Trong hai ô chung cạnh bất kỳ, nhiều nhất một ô được tô. Trên mỗi ô không tô, Peter viết số ô được tô có chung cạnh với ô ấy. Biết rằng mọi số được viết đều không lớn hơn 3, Peter có thể tô nhiều nhất bao nhiêu ô? Hãy điền một ví dụ vào bảng, gồm các ô tô và các số.

Tìm tất cả các số có ba chữ số $\overline{abc}$ sao cho $\overline{abc}=a!+b!+c!$. (Lưu ý: $n!$, đọc là $n$ giai thừa, nghĩa là $n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1$. Ví dụ, $6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$.)

Trong hình bình hành $ABCD$, điểm $E$ thuộc $AD$ sao cho $AE=DE$, điểm $F$ thuộc $CD$ và điểm $H$ thuộc $AB$ sao cho $EF\perp DC$ và $CH\perp AB$. Cho $AH:HB=3:2$ và điểm $G$ nằm trên đường thẳng $CH$. Nếu diện tích tam giác $EFG$ là 296 cm², tìm diện tích hình bình hành $ABCD$, tính bằng cm².

Có thể biểu diễn một số trong hệ cơ số 8. Ví dụ, 37 được viết là $(45)_8$ vì $(45)_8=4\times8+5=37$. Ngược lại, $(49)_8$ không tồn tại vì $4\times8+9=41$ phải được biểu diễn là $(51)_8$. Cho $\overline{AB}$ là số nguyên tố có hai chữ số trong hệ cơ số 10, với $A,B<8$. Nếu giá trị của $(\overline{AB})_8$ cũng là số nguyên tố trong hệ cơ số 10, ta có thể nhận được bao nhiêu giá trị của $(\overline{AB})_8$?

Tô mỗi cạnh của khối lập phương dưới đây bằng một trong 3 màu: xanh lam, đỏ hoặc vàng sao cho hai cạnh chung đỉnh bất kỳ khác màu. Có bao nhiêu cách tô khối lập phương? (Lưu ý: hai cách tô được xem là giống nhau nếu sau phép quay hoặc phản xạ, chúng trông giống nhau.)

Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 và 6 lập số có sáu chữ số $\overline{abcdef}$, trong đó các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau. Nếu $2\mid\overline{ab}$, $3\mid\overline{abc}$, $4\mid\overline{abcd}$, $5\mid\overline{abcde}$ và $6\mid\overline{abcdef}$, tìm mọi số $\overline{abcdef}$ có thể.

Một hình bát diện đều được cho trong hình bên phải. Có tất cả 6 đỉnh được nối bởi tổng cộng 12 cạnh. Một con kiến bắt đầu ở đỉnh $A$, đi dọc các cạnh nhưng không đi qua một cạnh quá một lần. Nếu kiến ghé mỗi đỉnh đúng một lần trước khi quay lại đỉnh $A$, có bao nhiêu lộ trình khác nhau?

Gọi $A$ là số nguyên dương có các chữ số khác nhau, và $B$ là số nguyên dương có các chữ số là một hoán vị của các chữ số của $A$. Giả sử $A-B=\underbrace{11\ldots1}_{m}$ (có $m$ chữ số 1). Tìm giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn các yêu cầu.

Cho $n$ là số nguyên dương có các chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số bằng 17. Nếu $n<2018$, có bao nhiêu giá trị khác nhau của $n$?

Dùng 16 quân đen và 16 quân trắng, có bao nhiêu cách đặt 16 quân vào bàn cờ $4\times4$, mỗi quân chiếm 1 ô, sao cho số quân trắng trong mỗi hàng và mỗi cột đều chẵn?