Câu hỏi 11
(NET 6) Xét dãy đường tròn $K_1,K_2,K_3,K_4,\ldots$ lần lượt có bán kính $r_1,r_2,r_3,r_4,\ldots$, nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $K_1$ tiếp xúc với $AB$ và $AC$; $K_2$ tiếp xúc với $K_1,BA$ và $BC$; $K_3$ tiếp xúc với $K_2,CA$ và $CB$; $K_4$ tiếp xúc với $K_3,AB$ và $AC$; cứ như vậy.
(a) Chứng minh hệ thức
$$r_1\cot\frac A2+2\sqrt{r_1r_2}+r_2\cot\frac B2=r\left(\cot\frac A2+\cot\frac B2\right),$$
trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Suy ra sự tồn tại của $t_1$ sao cho
$$r_1=r\cot\frac B2\cot\frac C2\sin^2t_1.$$
(b) Chứng minh dãy đường tròn $K_1,K_2,\ldots$ là tuần hoàn.
(a) Chứng minh hệ thức
$$r_1\cot\frac A2+2\sqrt{r_1r_2}+r_2\cot\frac B2=r\left(\cot\frac A2+\cot\frac B2\right),$$
trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Suy ra sự tồn tại của $t_1$ sao cho
$$r_1=r\cot\frac B2\cot\frac C2\sin^2t_1.$$
(b) Chứng minh dãy đường tròn $K_1,K_2,\ldots$ là tuần hoàn.