AIME I năm 2004

Các chữ số của số nguyên dương $n$ là bốn số nguyên liên tiếp theo thứ tự giảm dần khi đọc từ trái sang phải. Tổng số dư có thể có khi chia $n$ cho $37?$

Tập $\mathcal{A}$ gồm $m$ số nguyên liên tiếp có tổng là $2m,$ và tập $\mathcal{B}$ gồm $2m$ số nguyên liên tiếp có tổng là $m.$ Giá trị tuyệt đối của chênh lệch giữa phần tử lớn nhất của $\mathcal{A}$ và phần tử lớn nhất của $\mathcal{B}$ là $99.$ Tìm $m.$

Một khối đa diện lồi $P$ có $26$ đỉnh, $60$ cạnh và $36$ mặt, $24$ trong số đó là hình tam giác và $12$ trong số đó là hình tứ giác. Đường chéo không gian là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau và không thuộc cùng một mặt. $P$ có bao nhiêu đường chéo không gian?

Hình vuông có các cạnh có độ dài $2.$ Bộ $\mathcal{S}$ là tập hợp tất cả các đoạn thẳng có độ dài $2$ và các điểm cuối của chúng nằm trên các cạnh liền kề của hình vuông. Trung điểm của các đoạn thẳng trong tập $\mathcal{S}$ bao quanh một vùng có diện tích đến hàng trăm gần nhất là $k.$ Tìm $100k.$

Alpha và Beta đều tham gia một cuộc thi giải quyết vấn đề kéo dài hai ngày. Vào cuối ngày thứ hai, mỗi người đã thử các câu hỏi có tổng điểm $500$ điểm. Alpha đã ghi được $160$ điểm trong số $300$ điểm cố gắng vào ngày đầu tiên và đã ghi được $140$ điểm trong số $200$ số điểm cố gắng vào ngày thứ hai. Beta, người không thử $300$ điểm vào ngày đầu tiên, có số điểm nguyên dương trong cả hai ngày và tỷ lệ thành công hàng ngày của Beta (số điểm ghi được chia cho số điểm đã thử) mỗi ngày thấp hơn Alpha vào ngày đó. Tỷ lệ thành công trong hai ngày của Alpha là $\frac{300}{500} = \frac{3}{5}.$ Tỷ lệ thành công lớn nhất có thể có trong hai ngày mà Beta có thể đạt được là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì

Một số nguyên được gọi là *snakelike* nếu biểu diễn thập phân $a_1 a_2 a_3 \ldots a_k$ của nó thỏa mãn $a_i \lt a_{i+1}$ nếu $i$ là số lẻ và $a_i \gt a_{i+1}$ nếu $i$ là số chẵn. Có bao nhiêu số nguyên dạng rắn giữa $1000$ và $9999$ có bốn chữ số phân biệt?

Đặt $C$ là hệ số của $x^2$ trong khai triển tích $$
\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}
$$ Tìm $|C|.$

Xác định một *ngôi sao nhọn $n$ thông thường* là hợp của $n$ đoạn đường $\overline{P_1 P_2},$ $\overline{P_2 P_3},$ $\ldots,$ $\overline{P_n P_1}$ sao cho

• các điểm $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_n$ là đồng phẳng và không có ba điểm nào thẳng hàng,

• mỗi đoạn đường $n$ giao nhau ít nhất một trong các đoạn đường khác tại một điểm không phải là điểm cuối,

• tất cả các góc tại $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_n$ đều là bằng nhau,

• tất cả các đoạn đường $n$ $\overline{P_1 P_2},$ $\overline{P_2 P_3},$ $\ldots,$ $\overline{P_n P_1}$ đều là bằng nhau và

• đường dẫn $P_1 P_2 \ldots P_n P_1$ rẽ ngược chiều kim đồng hồ ở một góc nhỏ hơn $180^\circ$ tại mỗi đỉnh.

Không có ngôi sao nhọn $3$, $4$ hoặc $6$ thông thường. Tất cả các ngôi sao nhọn $5$ đều là đồng dạng, nhưng có hai ngôi sao không nhọn đồng dạng đều $7$. Có bao nhiêu ngôi sao nhọn không đồng dạng đều $1000$?

Giả sử $ABC$ là một tam giác có các cạnh $3,$ $4,$ và $5,$ và $DEFG$ là hình chữ nhật $6$-by-$7$. Một đoạn được vẽ để chia tam giác $ABC$ thành một tam giác $U_1$ và hình thang $V_1,$ và một đoạn khác được vẽ để chia hình chữ nhật $DEFG$ thành một tam giác $U_2$ và hình thang $V_2$ sao cho $U_1$ là đồng dạng đến $U_2$ và $V_1$ là đồng dạng đến $V_2.$ Giá trị tối thiểu của diện tích của $U_1$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Một hình tròn có bán kính $1$ được đặt ngẫu nhiên trong hình chữ nhật $15$-by-$36$ $ABCD$ sao cho hình tròn nằm hoàn toàn bên trong hình chữ nhật. Cho rằng xác suất mà đường tròn sẽ không chạm vào đường chéo $\overline{AC}$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n.$

Một vật rắn có dạng hình nón tròn bên phải có chiều cao $4$ inch và đáy của nó có bán kính $3$-inch. Toàn bộ bề mặt của hình nón, bao gồm cả đế của nó, được sơn. Một mặt phẳng song song với đáy của hình nón chia hình nón thành hai khối, một khối hình nón nhỏ hơn $\mathcal{C}$ và một khối hình cụp $\mathcal{F},$ sao cho tỷ lệ giữa diện tích các bề mặt được sơn của $\mathcal{C}$ và $\mathcal{F}$ và tỷ lệ giữa thể tích $\mathcal{C}$ và $\mathcal{F}$ đều bằng $k.$ Cho rằng $k = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n.$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập hợp các cặp có thứ tự $(x, y)$ sao cho $0 \lt x \le 1,$ $0 \lt y \le 1,$ và $\left\lfloor \log_2\left(\frac{1}{x}\right) \right\rfloor$ và $\left\lfloor \log_5\left(\frac{1}{y}\right) \right\rfloor$ đều chẵn. Cho rằng diện tích của đồ thị $\mathcal{S}$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối, hãy tìm $m + n.$ Ký hiệu $\lfloor z \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z.$

Đa thức $$
\begin{aligned} P(x) &= \small (1 + x + x^2 + \cdots + x^{17})^2 \\ &\quad {}- x^{17} \end{aligned}
$$ có $34$ các số 0 phức có dạng $z_k$ $= r_k[\cos(2\pi\alpha_k) + i\sin(2\pi\alpha_k)],$ $k = 1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $34,$ với $0 \lt \alpha_1 \le \alpha_2 \le \alpha_3$ $\le \cdots \le \alpha_{34} \lt 1$ và $r_k \gt 0.$ Cho rằng $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n.$

Một con kỳ lân được buộc bằng một sợi dây bạc có chân $20$ vào chân tháp hình trụ của pháp sư có bán kính là $8$ chân. Sợi dây được gắn vào tòa tháp trên mặt đất và vào con kỳ lân ở độ cao $4$ feet. Kỳ lân đã kéo căng sợi dây, đầu sợi dây cách điểm gần nhất trên tháp $4$ feet và chiều dài của sợi dây chạm vào tháp là $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ feet, trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $c$ là số nguyên tố. Tìm $a + b + c.$

Đối với tất cả các số nguyên dương $x,$ đặt $$
f(x) = \scriptsize\begin{cases} 1 & \text{if } x = 1, \\ \frac{x}{10} & \text{if } x \text{ is divisible by } 10, \\ x + 1 & \text{otherwise,} \end{cases}
$$ và xác định một chuỗi như sau: $x_1 = x$ và $x_{n+1} = f(x_n)$ cho tất cả các số nguyên dương $n.$ Đặt $d(x)$ là nhỏ nhất $n$ sao cho $x_n = 1.$ (Ví dụ: $d(100) = 3$ và $d(87) = 7.$) Gọi $m$ là số số nguyên dương $x$ sao cho $d(x) = 20.$ Tìm tổng các thừa số nguyên tố phân biệt của $m.$