AIME I năm 2000

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho dù $10^n$ được biểu diễn dưới dạng tích của hai số nguyên dương bất kỳ như thế nào, ít nhất một trong hai số nguyên này chứa chữ số $0.$

Đặt $u$ và $v$ là các số nguyên thỏa mãn $0 \lt v \lt u.$ Đặt $A = (u, v),$ đặt $B$ là hình chiếu của $A$ qua đường thẳng $y = x,$ đặt $C$ là hình chiếu của $B$ qua trục $y$, đặt $D$ là hình phản chiếu của $C$ qua trục $x$ và để $E$ là hình phản chiếu của $D$ qua trục $y$. diện tích của ngũ giác $ABCDE$ là $451.$ Tìm $u + v.$

Trong khai triển của $(ax + b)^{2000},$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, các hệ số của $x^2$ và $x^3$ bằng nhau. Tìm $a + b.$

Sơ đồ hiển thị một hình chữ nhật đã được chia thành chín hình vuông không chồng lên nhau. Cho rằng chiều rộng và chiều cao của hình chữ nhật là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm chu vi của hình chữ nhật.

Mỗi hộp trong số hai hộp chứa cả hai viên bi đen và trắng, và tổng số viên bi trong hai hộp là $25.$ Một viên bi được lấy ngẫu nhiên ra khỏi mỗi hộp. xác suất mà cả hai viên bi đều có màu đen là $\frac{27}{50},$ và xác suất mà cả hai viên bi đều có màu trắng là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì

Với bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(x, y)$ thì đúng là $0 \lt x \lt y \lt 10^6$ và số học trung bình cộng của $x$ và $y$ chính xác là $2$ lớn hơn số học trung bình cộng của $x$ và $y?$

Giả sử rằng $x,$ $y,$ và $z$ là ba số dương thỏa mãn các phương trình $xyz = 1,$ $x + \frac{1}{z} = 5,$ và $y + \frac{1}{x} = 29.$ Khi đó $z + \frac{1}{y} = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ tương đối số nguyên dương nguyên tố. Tìm $m + n.$

Một thùng chứa có hình nón tròn bên phải cao $12$ inch và đáy của nó có bán kính $5$-inch. Chất lỏng được bịt kín bên trong sâu $9$ inch khi hình nón được giữ với đầu hướng xuống và đáy nằm ngang. Khi hình nón được giữ với đầu hướng lên và đáy nằm ngang, chất lỏng sâu $m - n\sqrt[3]{p}$ inch, trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương và $p$ không phải là chia hết cho lập phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$

hệ phương trình $$
\begin{aligned} &\log_{10}(2000xy) \\ &\quad {}- (\log_{10} x)(\log_{10} y) = 4 \end{aligned}
$$ $$
\log_{10}(2yz) - (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 1
$$ $$
\log_{10}(zx) - (\log_{10} z)(\log_{10} x) = 0
$$ có hai nghiệm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2).$ Tìm $y_1 + y_2.$

Một chuỗi số $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ $x_{100}$ có thuộc tính là, với mọi số nguyên $k$ nằm giữa $1$ và $100,$ thì bao gồm số $x_k$ là $k$ nhỏ hơn tổng của các số $99$ khác. Cho rằng $x_{50} = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n.$

Đặt $S$ là tổng của tất cả các số có dạng $\frac{a}{b},$ trong đó $a$ và $b$ là các ước số dương nguyên tố tương đối của $1000.$ Số nguyên lớn nhất không vượt quá $\frac{S}{10}?$ là bao nhiêu?

Cho một hàm $f$ mà $$
\begin{aligned} f(x) &= f(398 - x) \\ &= f(2158 - x) \\ &= f(3214 - x) \end{aligned}
$$ đúng cho tất cả $x,$ số thực lớn nhất có thể xuất hiện trong danh sách $f(0),$ $f(1),$ $f(2),$ $\ldots,$ $f(999)?$

Giữa thảo nguyên rộng lớn, một chiếc xe cứu hỏa đậu ở giao lộ của hai đường cao tốc thẳng vuông góc. Xe tải di chuyển với tốc độ $50$ dặm một giờ dọc theo đường cao tốc và với tốc độ $14$ dặm một giờ trên thảo nguyên. Hãy xem xét tập hợp các điểm mà xe cứu hỏa có thể đến được trong vòng sáu phút. diện tích của vùng này là $\frac{m}{n}$ dặm vuông, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Trong tam giác $ABC,$ có các góc $B$ và $C$ là bằng nhau. Điểm $P$ và $Q$ lần lượt nằm trên $\overline{AC}$ và $\overline{AB},$ sao cho $AP = PQ = QB = BC.$ Góc $ACB$ lớn hơn $r$ lần góc $APQ,$ trong đó $r$ là một số thực dương. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá $1000r.$

Một chồng thẻ $2000$ được dán nhãn các số nguyên từ $1$ đến $2000,$ với các số nguyên khác nhau trên các thẻ khác nhau. Các thẻ trong chồng đồng xu không theo thứ tự số. Lá bài trên cùng được lấy ra khỏi chồng đồng xu và đặt trên bàn, còn lá bài tiếp theo được chuyển xuống cuối chồng đồng xu. Thẻ trên cùng mới được lấy ra khỏi chồng đồng xu và đặt trên bàn, ở bên phải của thẻ đã có sẵn và thẻ tiếp theo trong chồng đồng xu được chuyển xuống cuối chồng đồng xu. Quá trình - đặt quân bài trên cùng bên phải các quân bài đã có trên bàn và di chuyển quân bài tiếp theo trong chồng đồng xu xuống cuối chồng đồng xu - được lặp lại cho đến khi tất cả các quân bài đều ở trên bàn. Người ta thấy rằng, đọc từ trái sang phải, các nhãn trên thẻ hiện theo thứ tự tăng dần: $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $1999,$ $2000.$ Trong chồng thẻ ban đầu, có bao nhiêu thẻ nằm phía trên thẻ có nhãn $1999?$