MathNet 2021 — Phần 07

Tổng các chữ số của số $20^{21}+(10^{2021}+21)^2$ bằng bao nhiêu?

Với hai phân số $a/b$ và $c/d$, định nghĩa tổng cướp biển của chúng là
$$
\frac{a}{b}\diamond\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d},
$$
trong đó hai phân số ban đầu đều được viết ở dạng tối giản (nghĩa là đã rút gọn hết mức có thể), rồi kết quả cũng được rút gọn về dạng tối giản. Chẳng hạn, tổng cướp biển của $2/7$ và $4/5$ bằng $1/2$.

Cho số nguyên $n\geq3$. Ban đầu, trên bảng có các phân số
$$
\frac11,\quad\frac12,\quad\frac13,\quad\ldots,\quad\frac1n.
$$
Trong mỗi bước, chọn hai phân số trên bảng, xóa chúng và thay bằng tổng cướp biển của chúng. Tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một phân số.

Hãy xác định theo $n$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể của phân số cuối cùng.

Với hai phân số $a/b$ và $c/d$, định nghĩa tổng cướp biển của chúng là
$$
\frac{a}{b}\diamond\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d},
$$
trong đó hai phân số ban đầu đều được viết ở dạng tối giản (nghĩa là đã rút gọn hết mức có thể), rồi kết quả cũng được rút gọn về dạng tối giản. Chẳng hạn, tổng cướp biển của $2/7$ và $4/5$ bằng $1/2$.

Cho số nguyên $n\geq3$. Ban đầu, trên bảng có các phân số
$$
\frac11,\quad\frac12,\quad\frac13,\quad\ldots,\quad\frac1n.
$$
Trong mỗi bước, chọn hai phân số trên bảng, xóa chúng và thay bằng tổng cướp biển của chúng. Tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một phân số.

Hãy xác định theo $n$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể của phân số cuối cùng.

Cho các số nguyên $a,b,c$, mỗi số nằm trong khoảng từ $1$ đến $2021$ kể cả hai đầu mút, thỏa mãn
$$
\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+c\sqrt b}.
$$
Có bao nhiêu giá trị khác nhau có thể có của $c$?

Cho tam giác nhọn $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$. Gọi $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$, và $X$ là giao điểm của đường cao $BH$ với đường trung trực của $BC$.

Chứng minh hai khẳng định sau tương đương:

(i) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACM$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AXH$ và đường thẳng $CQ$ cùng đi qua một điểm.

(ii) Hai đường thẳng $BQ$ và $CQ$ vuông góc với nhau.

Cho tam giác nhọn $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$. Gọi $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$, và $X$ là giao điểm của đường cao $BH$ với đường trung trực của $BC$.

Chứng minh hai khẳng định sau tương đương:

(i) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACM$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $AXH$ và đường thẳng $CQ$ cùng đi qua một điểm.

(ii) Hai đường thẳng $BQ$ và $CQ$ vuông góc với nhau.

Khi nghiên cứu đa thức $p(x)=x^2+2x-6$, Enrica tìm được hai số thực phân biệt $\alpha$ và $\beta$ sao cho $p(\alpha)=\beta$ và $p(\beta)=\alpha$. Giá trị của $\alpha+\beta$ bằng bao nhiêu?

Một dãy $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ gồm một khối ban đầu có $p$ số nguyên dương đôi một khác nhau, rồi khối ấy lặp lại tuần hoàn. Nghĩa là $x_1,x_2,\ldots,x_p$ là $p$ số nguyên dương đôi một khác nhau và $x_{n+p}=x_n$ với mọi số nguyên dương $n$.

Các số hạng của dãy chưa được biết, và mục tiêu là xác định chu kỳ $p$. Ở mỗi bước, bạn có thể yêu cầu cho biết giá trị của một số hạng tùy chọn; lựa chọn này có thể phụ thuộc vào kết quả của những bước trước.

(a) Biết trước rằng $1\leq p\leq10$, hãy tìm số $n$ nhỏ nhất sao cho có một chiến lược xác định chắc chắn $p$ bằng cách hỏi giá trị của nhiều nhất $n$ số hạng.

(b) Biết trước rằng $p$ là một trong $k$ số nguyên tố đầu tiên, hãy xác định những giá trị của $k$ sao cho có một chiến lược xác định chắc chắn $p$ bằng cách hỏi giá trị của nhiều nhất năm số hạng.

Những người tham dự một cuộc gặp gồm những kẻ nói dối (luôn nói dối) và các hiệp sĩ (luôn nói thật), được đánh số từ $1$ đến $2021$. Mỗi người tuyên bố: "Có thể lập được ít nhất $i$ bộ ba người tham dự có tôi trong đó và chứa đúng hai hiệp sĩ", trong đó $i$ là số được gán cho người đang nói. Số kẻ nói dối có mặt trong cuộc gặp có thể nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$, và $D$ là giao điểm của đường phân giác góc $A$ với cạnh $BC$. Giả sử $HD$ vuông góc với $BC$. Giá trị của $\left(\frac{AB}{BC}\right)^2$ bằng bao nhiêu?

Cậu bé Boole vẽ một dải gồm tám ô, mỗi ô có thể ghi số $0$ hoặc $1$. Ban đầu mọi ô đều ghi số $0$. Trong mỗi lần đi, Boole thực hiện một trong hai thao tác sau:

Thao tác a: Thay mọi số $0$ bằng $1$ và mọi số $1$ bằng $0$.

Thao tác b: Chọn ba ô liên tiếp và chỉ trong ba ô đó, thay mọi số $0$ bằng $1$ và ngược lại.

Boole có thể thu được bao nhiêu cấu hình khác nhau gồm các số $0$ và $1$?

Với mọi số thực không âm $x$, ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là phần nguyên của $x$, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ là phần thập phân của $x$.

Gọi $p$ là một nghiệm thực dương không nguyên của phương trình $\{z\lfloor z\rfloor\}=2021\{z\}$. Giá trị nhỏ thứ hai có thể có của $\lfloor p\rfloor$ là bao nhiêu?

Tìm số bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ gồm các số nguyên không âm sao cho mỗi số $2^a$, $2^b$, $2^c$ đều nhỏ hơn $10000$, và $2^a+2^b+2^c$ là một ước của $8^a+8^b+8^c$.

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng một và điểm $P$ nằm khác phía với $C$ đối với đường thẳng $AB$, sao cho $\angle APB=60^\circ$. Giả sử đường phân giác của $\angle APB$ cắt các đoạn thẳng $AB$ và $AC$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Diện tích nhỏ nhất có thể có của tam giác $AXY$ bằng bao nhiêu?

Một con châu chấu di chuyển trên mặt phẳng. Từ điểm $(x,y)$, nó có thể nhảy đến $(x+y,y)$ hoặc $(x,x+y)$. Nó xuất phát tại $(n,9)$, trong đó $n$ là số nguyên dương, nhưng không nhớ giá trị của $n$. Nó chỉ biết rằng sau một số lần nhảy, nó đã đến $(2021,2050)$. Có bao nhiêu giá trị có thể có của $n$?

Cho hình chữ nhật $ABCD$ và điểm $E$ tùy ý trên cạnh $DC$, khác $C$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên đường chéo $AC$, và $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên tia $AE$.

Phần a: Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $ABCD$ và tứ giác $CKEH$ nội tiếp, tức có thể nội tiếp một đường tròn.

Phần b: Chứng minh rằng $\angle CKB+\angle CKH=90^\circ$.

Phần c: Chứng minh rằng $K,H,B$ thẳng hàng khi và chỉ khi $ABCD$ là hình vuông.

Ambra xây dựng một dãy số bắt đầu từ số thực dương $x_0$ như sau. Khi đã có số hạng $x_n$, cô đặt
$$
x_{n+1}=\left\{1-\frac1{x_n}\right\},
$$
trong đó $\{\alpha\}$ là phần thập phân của $\alpha$, tức hiệu giữa $\alpha$ và số nguyên lớn nhất không vượt quá nó. Ngay khi thu được một số hạng bằng không, Ambra dừng dãy.

Phần a: Chứng minh rằng nếu $x_0=p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương, thì sớm muộn dãy cũng dừng.

Phần b: Chứng minh rằng nếu dãy dừng thì giá trị xuất phát $x_0$ có dạng $p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương.

Hình dưới biểu diễn bốn loại khối, mỗi khối được ghép từ bốn khối lập phương cạnh một. Có bao nhiêu cách xếp bốn khối thuộc các loại này vào một hộp chữ nhật $2\times2\times4$ sao cho không khối nào nhô ra ngoài?

Có thể dùng nhiều khối cùng loại và có thể xoay các khối. Hai cách xếp chỉ trùng nhau sau khi xoay cả hộp vẫn được tính là hai cách khác nhau.

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $f(n)$ nguyên tố cùng nhau với $n$ và $f(n)+1$ nguyên tố cùng nhau với $n+1$. Có bao nhiêu số nguyên khác nhau xuất hiện trong tập $\{f(1),f(2),\ldots,f(10^{10})\}$?

Trong tam giác $ABC$, hai điểm $P,Q$ nằm trên cạnh $BC$ và trực tâm của tam giác $ACP$ trùng với trực tâm của tam giác $ABQ$. Biết $AB=10$, $AC=11$, $BP=5$, $CQ=6$, hãy tính độ dài $BC$.