Câu hỏi 17
Ambra xây dựng một dãy số bắt đầu từ số thực dương $x_0$ như sau. Khi đã có số hạng $x_n$, cô đặt
$$
x_{n+1}=\left\{1-\frac1{x_n}\right\},
$$
trong đó $\{\alpha\}$ là phần thập phân của $\alpha$, tức hiệu giữa $\alpha$ và số nguyên lớn nhất không vượt quá nó. Ngay khi thu được một số hạng bằng không, Ambra dừng dãy.
Phần a: Chứng minh rằng nếu $x_0=p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương, thì sớm muộn dãy cũng dừng.
Phần b: Chứng minh rằng nếu dãy dừng thì giá trị xuất phát $x_0$ có dạng $p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương.
$$
x_{n+1}=\left\{1-\frac1{x_n}\right\},
$$
trong đó $\{\alpha\}$ là phần thập phân của $\alpha$, tức hiệu giữa $\alpha$ và số nguyên lớn nhất không vượt quá nó. Ngay khi thu được một số hạng bằng không, Ambra dừng dãy.
Phần a: Chứng minh rằng nếu $x_0=p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương, thì sớm muộn dãy cũng dừng.
Phần b: Chứng minh rằng nếu dãy dừng thì giá trị xuất phát $x_0$ có dạng $p/q$, với $p,q$ là các số nguyên dương.