Câu hỏi 3
Với hai phân số $a/b$ và $c/d$, định nghĩa tổng cướp biển của chúng là
$$
\frac{a}{b}\diamond\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d},
$$
trong đó hai phân số ban đầu đều được viết ở dạng tối giản (nghĩa là đã rút gọn hết mức có thể), rồi kết quả cũng được rút gọn về dạng tối giản. Chẳng hạn, tổng cướp biển của $2/7$ và $4/5$ bằng $1/2$.
Cho số nguyên $n\geq3$. Ban đầu, trên bảng có các phân số
$$
\frac11,\quad\frac12,\quad\frac13,\quad\ldots,\quad\frac1n.
$$
Trong mỗi bước, chọn hai phân số trên bảng, xóa chúng và thay bằng tổng cướp biển của chúng. Tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một phân số.
Hãy xác định theo $n$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể của phân số cuối cùng.
$$
\frac{a}{b}\diamond\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d},
$$
trong đó hai phân số ban đầu đều được viết ở dạng tối giản (nghĩa là đã rút gọn hết mức có thể), rồi kết quả cũng được rút gọn về dạng tối giản. Chẳng hạn, tổng cướp biển của $2/7$ và $4/5$ bằng $1/2$.
Cho số nguyên $n\geq3$. Ban đầu, trên bảng có các phân số
$$
\frac11,\quad\frac12,\quad\frac13,\quad\ldots,\quad\frac1n.
$$
Trong mỗi bước, chọn hai phân số trên bảng, xóa chúng và thay bằng tổng cướp biển của chúng. Tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một phân số.
Hãy xác định theo $n$ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể của phân số cuối cùng.