Lucas sơn màu xanh toàn bộ mặt ngoài của một khối lập phương. Sau đó bạn ấy cưa khối lập phương đó thành $27$ khối lập phương nhỏ bằng nhau. Bạn ấy xếp chồng ngay ngắn $27$ khối lập phương nhỏ này để được một cái tháp gồm $27 \times 1 \times 1$ khối lập phương.
Trong số $110$ mặt của các khối lập phương nhỏ nằm ở mặt ngoài của cái tháp, có nhiều nhất bao nhiêu mặt màu xanh?
Có $2024$ người đứng thành một hàng, được đánh số từ $1$ đến $2024$, và mỗi người hoặc luôn nói thật, hoặc luôn nói dối. Hơn nữa, cả $2024$ người đều biết về nhau ai luôn nói thật và ai luôn nói dối. Vào một thời điểm, với mỗi số $n$, người mang số $n$ đưa ra khẳng định: "Có ít nhất $n$ người trong số những người này luôn nói dối."
Có bao nhiêu người luôn nói thật?
Joah có một số chiếc bình lớn đựng bi. Vào đầu tuần, các bình chứa số bi dương đôi một khác nhau. Vào ngày thứ nhất của tuần, bạn ấy thêm một viên bi vào mỗi bình. Vào ngày thứ hai, bạn ấy thêm một viên bi vào tất cả các bình có số bi chia hết cho $2$. Vào ngày thứ ba, bạn ấy thêm một viên bi vào tất cả các bình có số bi chia hết cho $3$. Bạn ấy tiếp tục như vậy cho đến ngày thứ bảy. Khi đó hóa ra có một vài bình chứa đúng $50$ viên bi.
Số bình chứa đúng $50$ viên bi mà Joah có thể có nhiều nhất là bao nhiêu?
Nếu viết ngày 16 tháng 1 năm 1091 bằng 8 chữ số điện tử (kiểu đồng hồ số) liên tiếp, ta được như sau:
Khi đọc ngược đầu (xoay ngược 180 độ), ta vẫn đọc được đúng ngày đó. Ngày đầu tiên trong tương lai (từ ngày 22 tháng 6 năm 2024 trở đi) cũng có tính chất: khi viết bằng 8 chữ số điện tử liên tiếp, đọc ngược đầu vẫn được đúng ngày đó, là ngày nào?
Các chữ cái in hoa $A$, $E$, $F$, $H$, $I$, $K$, $L$, $M$, $N$, $T$, $V$, $W$, $X$, $Y$, $Z$ có thể viết chỉ bằng các đoạn thẳng. Với chữ $I$, một đoạn thẳng là đủ; với chữ $E$, cần bốn đoạn thẳng. Ta gọi một dãy gồm ít nhất hai chữ cái trong số này là một từ; như vậy nó không nhất thiết phải là một từ có thật hay thậm chí đọc được. Ví dụ, $FK$ là một từ, và ta viết từ này bằng sáu đoạn thẳng.
Có bao nhiêu từ có thể viết bằng chữ in hoa với tổng cộng đúng bốn đoạn thẳng?
Ta định nghĩa dãy số với $a_{1}=850$ và
$$
a_{n+1} = \frac{a_{n}^{2}}{a_{n}-1}
$$
với $n \geq 1$. Xác định tất cả các giá trị của $n$ sao cho $\left\lfloor a_{n}\right\rfloor=2024$.
Ở đây phần nguyên $\lfloor a\rfloor$ của một số thực $a$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $a$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho $f(x)=x$ là hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ duy nhất thỏa mãn
$$
f^{a}(x) f^{b}(y)+f^{b}(x) f^{a}(y)=2 x y
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.
Ở đây $f^{n}(x)$ kí hiệu việc áp dụng $f$ lên $x$ đúng $n$ lần, tức là $f^{1}(x)=f(x)$ và $f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right)$.
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn với $|AB|\lt|AC|$. Cho các điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Gọi $P$ là điểm sao cho $|PB|=|PD|$ và $|PC|=|PE|$. Gọi $X$ là một điểm trên cung $AC$ không chứa $B$ của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Đường thẳng $XA$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle ADE$ lần thứ hai tại $Y$. Chứng minh rằng $|PX|=|PY|$.
Một cô giáo muốn dành một buổi sáng cho cả lớp luyện các bài toán Olympiad theo nhóm. Để làm việc đó, cô sắp xếp sáu chiếc bàn lớn. Ở mỗi bàn, nhiều học sinh có thể cùng làm một bài toán. Mỗi bàn có một bài toán; có ba bài toán khác nhau, mỗi bài được đặt ở hai bàn. Có ba vòng, trong mỗi vòng mỗi học sinh ngồi ở một trong các bàn. Cô giáo muốn xếp lịch cho học sinh sao cho sau ba vòng, mỗi học sinh đã làm mỗi bài toán đúng một lần. Ngoài ra, cô muốn mỗi cặp học sinh ngồi cùng bàn nhiều nhất một lần.
Số học sinh lớn nhất để có thể xếp được lịch như vậy là bao nhiêu?
Mila đứng trên một bàn cờ vô hạn được chia thành các ô vuông và bắt đầu di chuyển. Một bước nhảy-$n$ là một lần di chuyển trong đó Mila đi một ô sang trái, sang phải, lên trên hoặc xuống dưới, rồi đi tiếp $n$ ô theo phương vuông góc với hướng đó. Dưới đây là một ví dụ trong đó Mila bắt đầu ở ô giữa bên trái và lần lượt thực hiện một bước nhảy-$1$, rồi một bước nhảy-$2$, sau đó một bước nhảy-$3$, bước nhảy-$4$ và bước nhảy-$5$.
Giả sử Mila lần lượt thực hiện một bước nhảy-$1$, rồi một bước nhảy-$2$, rồi một bước nhảy-$3$, một bước nhảy-$4$, và cứ thế. Cuối cùng, bạn ấy thực hiện một bước nhảy-$m$. Với những số nguyên dương $m$ nào thì Mila có thể chọn $m$ bước nhảy của mình sao cho bạn ấy quay lại được ô xuất phát?
Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ có tính chất
$$
\frac{b^3}{a^4} \quad \text{và} \quad \frac{a^3}{b^2}
$$
đều là các số nguyên lớn hơn $1$.
Giá trị nhỏ nhất có thể của tổng $a + b$ là bao nhiêu?
Cho $ABCD$ là hình bình hành có tính chất $|AD| = |BD|$. Gọi $P$ và $Q$ là các điểm sao cho $\triangle ADP$ và $\triangle CDQ$ là các tam giác đều và không chồng lên hình bình hành. Chứng minh rằng $\angle PQD = 30^\circ$.
Một $\ell$-mã là một số nguyên $n \ge 0$ có nhiều nhất $\ell$ chữ số, được bổ sung các chữ số $0$ ở đầu nếu cần, sao cho nó gồm tổng cộng $\ell$ chữ số. Chẳng hạn, có thể tạo một 4-mã từ 310 bằng cách viết nó thành 0310. Một $\ell$-mã được gọi là *tự bình phương* nếu $\ell$ chữ số cuối cùng của bình phương của mã đó tạo thành đúng $\ell$-mã ban đầu. Chẳng hạn, các 1-mã 5 và 6 là tự bình phương, nhưng 3-mã 006 không tự bình phương, vì $6^2 = 36 = 036$ không tận cùng bằng 006. 2-mã 76 là tự bình phương, vì $76^2 = 5776$ tận cùng bằng 76.
a. Chứng minh rằng một $\ell$-mã $n$ là tự bình phương khi và chỉ khi $n(n-1)$ chia hết cho $10^\ell$.
b. Chứng minh rằng mọi $\ell$-mã tự bình phương $n \ge 2$ đều tận cùng bằng chữ số 5 hoặc chữ số 6.
c. Chứng minh rằng mọi $\ell$-mã tự bình phương $n \ge 2$ có thể mở rộng thành một $(\ell+1)$-mã tự bình phương theo đúng một cách bằng cách đặt thêm một chữ số vào phía trước.
d. Từ (b) và (c) suy ra rằng với mỗi $\ell$, có đúng hai $\ell$-mã tự bình phương $m, n \ge 2$. Tổng $m+n$ của chúng bằng bao nhiêu (theo $\ell$)?
Ta gọi một số nguyên dương là *số chính phương kề* nếu mỗi hai chữ số kề nhau của nó tạo thành một số chính phương. Ví dụ, số $364$ là số chính phương kề vì cả $36$ và $64$ đều là số chính phương.
Số chính phương kề lớn nhất có bao nhiêu chữ số?
Trong tháng Mười, ngày nào Caitlin cũng đi dạo một quãng dài. Chỉ vào 16 ngày được dự báo có mưa, cô ấy mới mang theo ô. Trong 31 ngày của tháng Mười, dự báo mưa đúng vào đúng 21 ngày. May mắn thay, vào những ngày trời mưa, Caitlin luôn mang theo ô.
Có bao nhiêu ngày trời *không* mưa?
Montasser lập một dãy số. Hai số đầu tiên là $6$ và $15$. Mỗi lần, bạn ấy lập số tiếp theo của dãy bằng cách chia số cuối cùng cho số đứng ngay trước nó rồi nhân kết quả với $2$. Như vậy, số thứ ba của dãy là $\frac{15}{6} \cdot 2 = 5$ và số thứ tư là $\frac{5}{15} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.
Số thứ một trăm của dãy là số nào?
A) $15$
B) $5$
C) $\frac{2}{3}$
D) $\frac{4}{15}$
E) $\frac{4}{5}$
Ta đặt lần lượt các chữ số từ $1$ đến $9$ vào một bảng $3 \times 3$. Chữ số $1$ có thể đặt vào một ô tùy ý; mỗi chữ số tiếp theo được đặt vào một ô kề theo chiều ngang hoặc chiều dọc với ô chứa chữ số trước đó. Xem ví dụ ở hình dưới đây. Ta gọi một bảng như vậy là *bảng con rắn*. Điểm của một ô trong bảng con rắn là tổng các chữ số trong tất cả các ô có chung một cạnh với ô đó. Tổng điểm của một bảng con rắn là tổng điểm của tất cả các ô của nó. Ví dụ, bảng con rắn trong ví dụ (theo từng hàng, cộng từ trái sang phải) có tổng điểm $6+13+10+9+20+19+10+15+14 = 116$.
Xander vẽ năm điểm và một số đường thẳng dài vô hạn trên một tờ giấy vô hạn. Bạn ấy vẽ sao cho trên mỗi đường thẳng có ít nhất hai trong số các điểm đó và các đường thẳng chỉ cắt nhau tại những điểm mà Xander đã vẽ.
Xander có thể đã vẽ nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng?
