Câu hỏi 15
Một $\ell$-mã là một số nguyên $n \ge 0$ có nhiều nhất $\ell$ chữ số, được bổ sung các chữ số $0$ ở đầu nếu cần, sao cho nó gồm tổng cộng $\ell$ chữ số. Chẳng hạn, có thể tạo một 4-mã từ 310 bằng cách viết nó thành 0310. Một $\ell$-mã được gọi là *tự bình phương* nếu $\ell$ chữ số cuối cùng của bình phương của mã đó tạo thành đúng $\ell$-mã ban đầu. Chẳng hạn, các 1-mã 5 và 6 là tự bình phương, nhưng 3-mã 006 không tự bình phương, vì $6^2 = 36 = 036$ không tận cùng bằng 006. 2-mã 76 là tự bình phương, vì $76^2 = 5776$ tận cùng bằng 76.
a. Chứng minh rằng một $\ell$-mã $n$ là tự bình phương khi và chỉ khi $n(n-1)$ chia hết cho $10^\ell$.
b. Chứng minh rằng mọi $\ell$-mã tự bình phương $n \ge 2$ đều tận cùng bằng chữ số 5 hoặc chữ số 6.
c. Chứng minh rằng mọi $\ell$-mã tự bình phương $n \ge 2$ có thể mở rộng thành một $(\ell+1)$-mã tự bình phương theo đúng một cách bằng cách đặt thêm một chữ số vào phía trước.
d. Từ (b) và (c) suy ra rằng với mỗi $\ell$, có đúng hai $\ell$-mã tự bình phương $m, n \ge 2$. Tổng $m+n$ của chúng bằng bao nhiêu (theo $\ell$)?
a. Chứng minh rằng một $\ell$-mã $n$ là tự bình phương khi và chỉ khi $n(n-1)$ chia hết cho $10^\ell$.
b. Chứng minh rằng mọi $\ell$-mã tự bình phương $n \ge 2$ đều tận cùng bằng chữ số 5 hoặc chữ số 6.
c. Chứng minh rằng mọi $\ell$-mã tự bình phương $n \ge 2$ có thể mở rộng thành một $(\ell+1)$-mã tự bình phương theo đúng một cách bằng cách đặt thêm một chữ số vào phía trước.
d. Từ (b) và (c) suy ra rằng với mỗi $\ell$, có đúng hai $\ell$-mã tự bình phương $m, n \ge 2$. Tổng $m+n$ của chúng bằng bao nhiêu (theo $\ell$)?